Vektor

Vektor:

1. Notasi
2. Operasi

Notasi

Bandingkan notasi & penulisan untuk vektor dua dan tiga dimensi:

	Vektor 2 Dimensi	Vektor 3 Dimensi
Besar Vektor (Panjang)	$\text{1. }|\vec{u}|=\sqrt{a^2+b^2}$	$\small \text{5. }|\vec{v}|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$
Vektor Satuan	$\text{2. }\hat{e}_{\vec{u}}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}$	$\text{6. }\hat{e}_{\vec{v}}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\begin{bmatrix} a\\ b\\ c \end{bmatrix}$
Notasi Matriks	$\text{3. }\vec{u}=\begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}$	$\small \text{7. }\vec{v}=\begin{bmatrix} a\\ b\\ c \end{bmatrix}$
Vektor Basis	$\text{4. }\vec{u}=x\hat{i}+y\hat{j}$	$\small \text{8. }\vec{v}=x\hat{i}+ y\hat{j}+ z\hat{k}$

Operasi

Operasi vektor sama dengan operasi dasar matriks (penjumlahan dan perkalian skalar).

Jika vektor bertitik asal sama, sudut antara kedua vektor memenuhi:

$\text{9. }\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}|.|\vec{b}|.\cos \theta \begin{cases} & \vec{a}.\vec{b} > 0 \text{ jika } 0^{\circ}<\theta< 90^{\circ} \\ & \vec{a}.\vec{b} = 0 \text{ jika } \theta=90^{\circ} \\ & \vec{a}.\vec{b} < 0 \text{ jika } 90^{\circ}< \theta\leq 180^{\circ} \end{cases}$

dan

$\text{10. }|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

Jika sedang menghitung vektor dalam bentuk komponen, maka:

Vektor 2 Dimensi	Vektor 3 Dimensi
$\vec{u}=\begin{bmatrix} x_{1}\\ y_{1} \end{bmatrix}; \vec{v}=\begin{bmatrix} x_{2}\\ y_{2} \end{bmatrix}$	$\vec{u}=\begin{bmatrix} x_{1}\\ y_{1}\\ z_{1} \end{bmatrix}; \vec{v}=\begin{bmatrix} x_{2}\\ y_{2}\\ z_{2} \end{bmatrix}$
$\text{11. }\vec{u}.\vec{v}=x_{1}.x_{2}+y_{1}.y_{2}$	$\text{12. }\vec{u}.\vec{v}=x_{1}.x_{2}+y_{1}.y_{2}+z_{1}.z_{2}$

Sifat perkalian skalar:

• Komutatif: $\vec{u}.\vec{v}=\vec{v}.\vec{u}$
• Distributif: Perkalian terhadap penjumlahan. $\vec{u}(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}$
• Tidak Asosiatif: $\vec{u}.\vec{v}.\vec{w}$ tidak terdefinisi.
• $\vec{u}.\vec{u}=|\vec{u}|^2$

Proyeksi Skalar vektor u terhadap vektor v:

$\text{13. }|\vec{p}|= \left | \frac{\vec{u}.\vec{v}}{|\vec{v}|} \right |$

Vektor Proyeksi vektor u terhadap vektor v:

$\text{14. }\vec{p}= \left ( \frac{\vec{u}.\vec{v}}{|\vec{v}|^{2}} \right )\vec{v}$

Contoh Soal

Soal 1: UN 2015
Diketahui |$\vec{a}$| = 4, |$\vec{b}$| = 6, |$\vec{a}+\vec{b}$| = 8. Jika θ adalah sudut antara vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$, maka nilai cos 2θ adalah ...
$\begin{align*} &\text{A. }-\frac{7}{8}\\ &\text{B. }-\frac{3}{4}\\ &\text{C. }0\\ &\text{D. }\frac{1}{2}\\ &\text{E. }1\\ \end{align*}$

Substitusikan semua variabel yang diketahui ke dalam Persamaan 10 untuk mendapatkan sudut atau nilai cosinus:
$\begin{align*} |\vec{a}+\vec{b}|^2 &=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+2|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta \\ 8^2&=4^2+6^2+2(4)(6)\cos\theta \\ 64&=52+48\cos\theta\\ 12&=48\cos\theta\\ \cos\theta&=\frac{1}{4} \end{align*}$

Setelah didapat nilai cosinus, menggunakan salah satu identitas trigonometri:
$\begin{align*} \cos2\theta&=2\cos^2\theta-1\\ &=2\left ( \frac{1}{4} \right )^2-1\\ &=2\left ( \frac{1}{16} \right )-1\\ &=\frac{1}{8} -1\\ &=-\frac{7}{8} \end{align*}$

Soal 2: UN 2015
Diketahui vektor $\vec{a}=p\vec{i}-3\vec{j}+9\vec{k}$ dan $\vec{b}=2\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k}$. Jika $|\vec{c}|$ adalah proyeksi vektor $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ dan $|\vec{c}| = 3$, nilai p adalah ...
$\begin{align*} &\text{A. }-1\\ &\text{B. }2\\ &\text{C. }\frac{5}{2} \\ &\text{D. }3\\ &\text{E. }4\\\end{align*}$

Dengan Persamaan 13:
$\begin{align*} |\vec{c}|&=\frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|}\\ 3&=\frac{2p-6+9}{\sqrt{4+4+1}}\\ 9&=2p+3\\ p&=3 \end{align*}$

Soal 3: UN 2015
Diketahui vektor-vektor $\vec{a}=2\vec{i}-\vec{j}+4\vec{k}$, $\vec{b}=5\vec{i}+\vec{j}+3\vec{k}$, $\vec{c}=2\vec{i}+a \vec{k}$. Jika $(\vec{a}+\vec{b})$ tegak lurus terhadap vektor $\vec{c}$, maka nilai $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ adalah ...
$\begin{align*} &\text{A. }9\vec{i}+\vec{j}-5\vec{k} \\ &\text{B. }9\vec{i}+\vec{j}+5\vec{k} \\ &\text{C. }9\vec{i}-5\vec{k}\\ &\text{D. }9\vec{i}+5\vec{k}\\ &\text{E. }9\vec{i}+5\vec{j}\\ \end{align*}$

Diketahui vektor (a + b) tegak lurus dengan vektor c. Maka, hasil kali perkalian skalar keduanya sama dengan 0:
$\begin{align*} (\vec{a}+\vec{b})(\vec{c})&=(7\vec{i}+7\vec{k})(2\vec{i}+a\vec{k})\\ 0&=14+7a\\ a&=-2 \end{align*}$

Dengan didapatnya nilai a pada vektor c, semua vektor sudah diketahui. Jumlahkan semua:
$\begin{align*} \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}&=(2\vec{i}-\vec{j}+4\vec{k})+(5\vec{i}+\vec{j}+3\vec{k})+(2\vec{i}-2\vec{k})\\ \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}&=(2+5+2)\vec{i}+(-1+1+0)\vec{j}+(4+3-2)\vec{k}\\ \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}&=9\vec{i}+5\vec{k}\\ \end{align*}$