Limit Fungsi

Limit Fungsi:

1. Nilai Limit
2. Nilai Limit Trigonometri
3. Sifat Limit

Nilai Limit

Beberapa nilai limit fungsi:

$\small\text{2. }\lim_{x\rightarrow \infty } \frac{1}{x}=0$ $\small\text{3. }\lim_{x\rightarrow \infty } (\sqrt[n]{ax^{n}+bx^{n-1}+...}-\sqrt[n]{px^{n}+qx^{n-1}+...})=\left\{\begin{matrix} \infty &,a>p\\ \frac{b-p}{2\sqrt{a}}&,a=p\\ 0&,a<p \end{matrix} \right.$

Nilai Limit Trigonometri

Berikut beberapa nilai limit fungsi trigonometri:

$\begin{align*} \text{4. }&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin{ax}}{bx}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ax}{\sin{bx}}=\frac{a}{b}\\ \text{5. }&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan{ax}}{bx}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ax}{\tan{bx}}=\frac{a}{b}\\ \text{6. }&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin{ax}}{\tan{bx}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan{ax}}{\sin{bx}}=\frac{a}{b}\\ \text{7. }&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin{ax}}{\sin{bx}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan{ax}}{\tan{bx}}=\frac{a}{b}\\ \end{align*}$

Mengetahui identitas trigonometri dapat mempermudah pengerjaan soal limit fungsi trigonometri.

Sifat Limit

Limit fungsi memiliki sifat:

$\begin{align*} \text{8. }&\lim_{x\rightarrow a}x=a\\ \text{9. }&\lim_{x\rightarrow a}k=k\\ \text{10. }&\lim_{x\rightarrow a}(f(x)\pm g(x))=\lim_{x\rightarrow a}f(x)\pm \lim_{x\rightarrow a}g(x)\\ \text{11. }&\lim_{x\rightarrow a}(f(x).g(x))=\lim_{x\rightarrow a}f(x). \lim_{x\rightarrow a}g(x)\\ \text{12. }&\lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}{\lim_{x\rightarrow a}g(x)}\\ \text{13. }&\lim_{x\rightarrow a} k.f(x)=k.\lim_{x\rightarrow a} f(x)\\ \text{14. }&\lim_{x\rightarrow a} (f(x))^{n}=(\lim_{x\rightarrow a} f(x))^{n}\\ \end{align*}$

Contoh Soal

Soal 1: UN 2017
Nilai $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{2-\sqrt{x+2}}{x^{2}-6x+8}$ adalah ...
$\begin{align*} \text{A. }&-\frac{1}{2} \\ \text{B. }&-\frac{1}{8} \\ \text{C. }&\frac{1}{8} \\ \text{D. }&\frac{1}{4} \\ \text{E. }&\frac{1}{2} \\ \end{align*}$

Jika langsungs disubstitusi, maka didapat bentuk 0/0. Jadi, dapat digunakan L'Hôpital. Turunkan masing masing pembilang dan penyebut, lalu substitusi nilai x:

$\begin{align*} \frac{\lim_{x\rightarrow 2}(2-\sqrt{x+2})}{\lim_{x\rightarrow 2}(x^{2}-6x+8)} &= -\lim_{x\rightarrow 2}\frac{1}{2\sqrt{x+2}}\times \lim_{x\rightarrow 2}\frac{1}{2x-6}\\ &= -\frac{1}{2\sqrt{(2)+2}}\times \frac{1}{2(2)-6}\\ &= -\frac{1}{4} \times -\frac{1}{2}\\ &=\frac{1}{8} \end{align*}$

Soal 2: UNBK 2018
Nilai $\lim_{x\rightarrow \propto }(\sqrt{9x^2+6x-3}-3x-4)$ adalah ...

1. -3
2. -2
3. -1
4. 1
5. 3

$\begin{align*} &\lim_{x\rightarrow \propto }(\sqrt{9x^2+6x-3}-3x-4) \\&= \lim_{x\rightarrow \propto }(\sqrt{9x^2+6x-3}-(3x+4))\\ &= \lim_{x\rightarrow \propto }(\sqrt{9x^2+6x-3}-\sqrt{(3x+4)^2}) \\ &= \lim_{x\rightarrow \propto }(\sqrt{9x^2+6x-3}-\sqrt{9x^2+24x+16}) \\ &=\frac{6-24}{2\sqrt{9}} \\ &=\frac{-18}{6}\\ &=-3 \end{align*}$

Soal 3: UN 2016
Nilai $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos4x}{2x\sin4x}$ = ...

$\begin{align*} &\text{A. }1\\ &\text{B. }\frac{1}{2}\\ &\text{C. }0\\ &\text{D. }-\frac{1}{2}\\ &\text{E. }-1\\ \end{align*}$

Dengan identitas trigonometri cos (2a) = 1 - 2 sin² (a), dan a = 2x, maka:

$\begin{align*} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos4x}{2x\sin4x}&=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos2(2x)}{2x\sin4x}\\ &=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-(1-2\sin^22x)}{2x\sin4x}\\ &=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2\sin^22x}{2x\sin4x}\\ &=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2\sin2x\sin2x}{2x\sin4x}\\ &=2\times \frac{2}{2} \times \frac{2}{4}\\ &=1 \end{align*}$

Soal 4
Nilai $\lim_{x\rightarrow -2}\frac{x^2+3x+2}{x^2+7x+10}$ adalah ...

$\begin{align*} &\text{A. }5\\ &\text{B. }-\frac{1}{3}\\ &\text{C. }-2\\ &\text{D. }\infty \\ &\text{E. }\frac{5}{2}\\ \end{align*}$

Jika x = -2 langsung di substitusikan, maka akan didapat bentuk 0/0. Maka dari itu, nilai limit dapat langsung dicari dengan L'Hôpital, atau dicari faktor yang sama dari pembilang dan penyebut (jika bentuk 0/0):

$\begin{align*} \lim_{x\rightarrow -2}\frac{x^2+3x+2}{x^2+7x+10} &= \lim_{x\rightarrow -2} \frac{(x+2)(x+1)}{(x+2)(x+5)}\\ &=\lim_{x\rightarrow -2} \frac{(x+1)}{(x+5)}\\ &=-\frac{1}{3} \end{align*}$

Bagaimana dengan metode L'Hôpital?

$\begin{align*} \lim_{x\rightarrow -2}\frac{x^2+3x+2}{x^2+7x+10} &= \lim_{x\rightarrow -2} \frac{2x+3}{2x+7}\\ &=-\frac{1}{3} \end{align*}$