Fungsi Komposisi & Invers

Fungsi Komposisi & Invers:

1. Fungsi
2. Fungsi Komposisi & Invers

Fungsi

Fungsi adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, jika setiap anggota himpunan A berpasangan dengan sebuah anggota himpunan B. Fungsi f yang memetakan himpunan A ke B ditulis dengan notasi f: A → B. Beberapa istilah dalam fungsi:

• Domain: daerah asal.
• Kodomain: daerah kawan.
• Range: anggota kodomain yang terhubung dengan domain.
• Relasi: hubungan antara kodomain dengan domain.

Fungsi Komposisi & Invers

Bentuk dasar fungsi komposisi dan inversnya:

$\begin{align*} \text{1. }&(f\circ g)(x)= f(g(x)) \\ \text{2. }&(f\circ g)^{-1}(x)= (g^{-1}\circ f^{-1})(x)=g^{-1}(f^{-1}(x)) \\ \end{align*}$

Beberapa fungsi dan inversnya:

f(x)	f-1(x)
$ax+b$	$\frac{x-b}{a}$
$ax^{2}+bx+c$	$\frac{-b\pm \sqrt{(b^2-4ac)+4ax}}{2a}$
$\frac{ax+b}{cx+d}$	$\frac{-dx+b}{cx-a}\text{ atau }\frac{dx-b}{-cx+a}$

Untuk mencari fungsi invers dari suatu fungsi:

1. Ketahui fungsi f(x) yang ingin dicari fungsi inversnya, atau f^-1(x)
2. Ubah fungsi f(x), dari bentuk f(x)= atau y= menjadi x=.
3. Tukar variabel x dan y, maka didapat bentuk invers dari f(x), yaitu f^-1.

Misalkan fungsi: $f(x)=\sqrt{ax+b}$
Maka:
$f(x)=\begin{align*} y&=\sqrt{ax+b} \\ y^{2}&=ax+b \\ y^{2}-b&=ax \\ \frac{y^{2}-b}{a}&=x\\ \end{align*}$

Setelah itu, fungsi inversnya didapat dengan menukar variabel x dan y:
$\begin{align*} y&=\frac{x^{2}-b}{a}\\ f^{-1}(x)&=\frac{x^{2}-b}{a}\\ \end{align*}$

Contoh Soal

Soal 1: UN 2017
Diketahui fungsi f: R → R dan g : R → R. Jika g(x) = 2x - 4 dan (g o f)(x) = 4x² - 24x + 32, fungsi f(-2) adalah ...

1. 12
2. 24
3. 32
4. 50
5. 96

Fungsi pada soal dapat ditulis sebagai berikut:
$g(f(x))=4x^2-24x+32$

Maka:
$\begin{align*} g(f(x))&=4x^2-24x+32\\ 2(f(x))-4&=4x^2-24x+32 \\ 2(f(x))&=4x^2-24x+36 \\ f(x)&=2x^2-12x+18 \end{align*}$

Substitusi x dengan -2:
$\begin{align*} f(-2)&=2(-2)^2-12(-2)+18\\ &=8+24+18\\ &=50\\ \end{align*}$

Soal 2: UN 2017
Jika fungsi $f(x)=\frac{2x+3}{x-5}$, x ≠ 5 dan g(x) = 3x + 1 maka g(x) = 3x + 1 maka (g o f)^-1(x) = ...
$\begin{align*} &\text{A. }\frac{5x+4}{x+7},x \neq-7 \\ &\text{B. }\frac{5x+7}{x-4},x \neq4 \\ &\text{C. }\frac{5x+4}{x-7},x \neq7 \\ &\text{D. }\frac{5x-4}{x-7},x \neq7\\ &\text{E. }\frac{5x-7}{x-4},x \neq4 \\ \end{align*}$

Fungsi komposisi yang dicari adalah invers dari fungsi komposisi (g o f)(x). Fungsi (g o f)(x) dapat dicari:

$\begin{align*} (g\circ f)(x) &=3(f(x))+1 \\ &=3\left ( \frac{2x+3}{x-5} \right )+1\\ &= \left ( \frac{6x+9}{x-5} \right )+\frac{x-5}{x-5}\\ &=\frac{7x+4}{x-5} \end{align*}$

Maka, fungsi inversnya adalah:
$(g \circ f)^{-1}(x)=\frac{5x+4}{x-7},x \neq 7$