Lingkaran

Lingkaran:

1. Persamaan Lingkaran
2. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Persamaan Lingkaran

Lingkaran dengan jari-jari r yang berpusat di titik (a,b) dapat dinyatakan dengan:

$\text{1. }(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

Jika lingkaran dengan jari-jari r berpusat di titik (0,0), persamaan diatas dapat diubah:

$\text{2. }x^2+y^2=r^2$

Jika diketahui dua titik ujung diameter yang berturut-turut terletak di x₁, y₁ dan x₂, y₂ pusat (a,b) dapat dicari dengan:

$\text{3. }P(a,b)=P\left ( \frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right )$

Untuk mencari jarak titik (x,y) terhadap garis px+qy+r=0:

$\text{4. }r=\left | \frac{px+qy+r}{\sqrt{p^2+q^2}} \right |$

Bentuk persamaan umum lingkaran, yang merupakan penjabaran dari Persamaan 1:

$\begin{align*} \text{5. } &x^2+y^2+Ax+By+C=0\text{ , dengan:} \\ &A=-2a \\ &B=-2b \\ &C=a^2+b^2-r^2\\ &\text{Pusat lingkaran: }P\left (-\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )\\ \end{align*}$

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Untuk mencari persamaan garis singgung pada lingkaran dengan jari-jari r yang berpusat di (a,b):

$\begin{align*} \text{6. } &(x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^2 \\ \text{7. }&x_{1}x+y_{1}y+\frac{A}{2}(x_{1}+x)+\frac{B}{2}(y_{1}+y)+C=0\\ \end{align*}$

Jika pusatnya (0,0), maka:

$\text{8. }x_{1}x+y_{1}y=r^2$

Jika hanya diketahui gradien, jari-jari (r) dan titik pusat lingkaran (a,b), maka:

$\text{9. }y-b=m(x-a)\pm r \sqrt{m^2+1}$

Jika pusatnya (0,0), maka:

$\text{10. }y=mx\pm r \sqrt{m^2+1}$

Contoh Soal

Soal 1: UN 2017
Persamaan lingkaran dengan pusat di titik (2,-3) dan menyinggung garis x=5, adalah ...

1. x² + y² + 4x - 6y + 9 = 0
2. x² + y² - 4x + 6y + 9 = 0
3. x² + y² - 4x + 6y + 4 = 0
4. x² + y² - 4x - 6y + 9 = 0
5. x² + y² + 4x - 6y + 4 = 0

Jari-jari lingkaran tersebut adalah 3 (5 - 2 = 3), atau melalui Persamaan 4:
Garis x=5 diubah menjadi x-(0)y-5=0.
$\begin{align*} r&=\left | \frac{ax+by+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right | \\ &= \left | \frac{(1)(2)+(0)(-3)-5}{\sqrt{(1)^2+(0)^2}} \right | \\ &= \left | \frac{-3}{1} \right | \\ &=3 \end{align*}$

Persamaan lingkarannya dapat dicari:

$\begin{align*} x^2+y^2+Ax+By+C&=0\\ x^2+y^2+(-2a)x+(-2b)y+(a^2+b^2-r^2)&=0\\ x^2+y^2-4x+6y+(4+9-9)&=0\\ x^2+y^2-4x+6y+4&=0 \end{align*}$

Soal 2: UN 2018
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x² + y² -10x + 2y + 1 = 0 yang tegak lurus dengan garis 5x + 12y - 8 = 0 adalah ...

1. 5y - 12x - 130 = 0
2. 5y - 12x + 130 = 0
3. 5y + 12x + 130 = 0
4. 5x - 12y + 130 = 0
5. 5x + 12y + 130 = 0

Garis yang diketahui adalah 5x + 12y - 8 = 0. Jika akan dicari garis yang tegak lurus terhadap garis tersebut, maka harus memenuhi
m₁ . m₂ = -1. Maka;
$\begin{align*} m_{1}. m_{2}&=-1\\ -\frac{5}{12}.m_{2}&=-1\\ m_{2}&=\frac{12}{5} \end{align*}$

Jari-jari lingkaran tersebut dapat dicari:
$\begin{align*} C^2&=a^2+b^2-r^2\\ r^2&=a^2+b^2-C^2\\ r&=\sqrt{\frac{A^2}{4}+\frac{B^2}{4}-C^2}\\ &=\sqrt{25+1-1}\\ &=5 \end{align*}$

Substitusi variabel yang didapat kedalam persamaan garis singgung, akan didapat:

$\begin{align*} y-b&=m(x-a)\pm r \sqrt{m^2+1} \\ y+1&=\frac{12}{5}(x-5) \pm 5 \sqrt{\left (\frac{12}{5} \right )^2+1} \\ y+1&=\frac{12}{5}(x-5) \pm 5 \sqrt{ \frac{144}{25}+\frac{25}{25}} \\ 5y+5&=12(x-5)\pm 65\\ 5y+5&=12x-60\pm 65\\ 0&=5y-12x+130 \end{align*}$