Integral

Integral:

1. Integral Tak Tentu
2. Integral Fungsi Trigonometri
3. Integral Tentu
4. Teknik Integral
5. Aplikasi Integral

Integral Tak Tentu

Untuk fungsi f(x) = axⁿ, dimana a adalah konstanta, integral tak tentunya adalah:

$\text{1. }\int ax^{n} \textit{ dx}=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C$

Untuk fungsi f(x) = (ax + b)ⁿ, dimana a dan b adalah konstanta, turunannya adalah:

$\text{2. }\int (ax+b)^{n} \textit{ dx}=\frac{1}{a(n+1)}(ax+b)^{n+1}+C$

Sifat-sifat integral tak tentu memenuhi: (a adalah konstanta)

$\begin{align*} \text{3. }&\int a.f(x) \textit{ dx}=a\int f(x) \textit{ dx} \\ \text{4. }&\int (f(x)\pm g(x)) \textit{ dx}=\int f(x)\textit{ dx} \pm \int g(x) \textit{ dx} \end{align*}$

Integral Fungsi Trigonometri

Berikut integral fungsi trigonometri: (a dan b adalah konstanta)

$\begin{align*} \text{5. }&\int \cos(ax+b) \textit{ dx}=\frac{1}{a}\sin(ax+b)+C\\ \text{6. }&\int \sin(ax+b) \textit{ dx}=-\frac{1}{a}\cos(ax+b)+C\\ \text{7. }&\int \sec^{2}(ax+b) \textit{ dx}=\frac{1}{a}\tan(ax+b)+C\\ \text{8. }&\int \csc(ax+b).\cot(ax+b) \textit{ dx}=-\frac{1}{a}\csc(ax+b)+C\\ \text{9. }&\int \sec(ax+b).\sec(ax+b) \textit{ dx}=\frac{1}{a}sec(ax+b)+C\\ \text{10. }&\int \csc^{2}(ax+b) \textit{ dx}=-\frac{1}{a}\cot(ax+b)+C\\ \end{align*}$

Integral Tentu

Jika f(x) fungsi yang kontinu pada interval a ≤ x ≤ b, dan integral dari fungsi f(x) adalah F(x), maka dapat ditulis:

$\text{11. }\int_{a}^{b}f(x)\textit{ dx}=F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)$

Sifat-sifat integral tentu memenuhi:

$\begin{align*} \text{12. }&\int_{a}^{a}f(x)\textit{ dx}=0\\ \text{13. }&\int_{a}^{b}f(x)\textit{ dx}=-\int_{b}^{a}f(x)\textit{ dx}\\ \text{14. }&\int_{a}^{c}f(x)\textit{ dx}=\int_{a}^{b}f(x)\textit{ dx}+\int_{b}^{c}f(x)\textit{ dx ,}\\&\texttt{dengan }a<b<c \end{align*}$

Sifat-sifat integral tak tentu pada Persamaan 3 dan Persamaan 4 juga berlaku untuk integral tentu.

Teknik Integral

Teknik yang pertama, yaitu teknik substitusi. Jika ditulis dalam persamaan, maka ditulis:

$\text{15. }\int f(g(x))g'(x)\textit{ dx}=\int f(u)\textit{ du}$

Misal ditanyakan integral dari fungsi f(x), dimana f(x) = (x² + 4x + 4)(8x + 16). Langkah awal adalah menentukan variabel pengganti. Pertama-tama, akan dimisalkan:
$\begin{align*} u&=x^2+4x+4 \\ du&=2x+4 \textit{ dx} \\ 4\textit{ du}&= 8x+16 \textit{ dx} \end{align*}$

Kemudian, substitusikan 8x + 16 dx pada persamaan integral utama:
$\begin{align*} \int (x^{2} + 4x + 4)(8x + 16) \textit{ dx}&=\int 4u \textit{ du}\\ &=2u^{2}+C\\ &=2(x^{2}+4x+4)^{2}+C \end{align*}$

Teknik yang kedua, yaitu teknik parsial. Jika ditulis dalam persamaan, maka ditulis:

$\text{16. }\int u\textit{ dv}=uv-\int v\textit{ du}$

Misal ditanyakan integral dari fungsi f(x), dimana f(x) = (x - 1)(x + 3)². Maka, akan disesuaikan dengan bentuk integral udv = uv - integral vdu:
$\begin{align*} u&=x-1\\ dv&=(x+3)^{2} \textit{ dx}\\ du&=\textit{ dx}\\ v&=\frac{1}{3} (x+3)^{3} \end{align*}$

Substitusikan semuanya ke persamaan semula:
$\begin{align*} \int udv&=uv - \int vdu\\ \int (x-1)(x+3)^2\textit{ dx}&=\frac{1}{3}(x-1)(x+3)^{3} - \int \frac{1}{3}(x+3)^{3} \textit{ dx}\\ &=\frac{1}{3}(x-1)(x+3)^{3} - \frac{1}{12}(x+3)^{4}+C\\ \end{align*}$

Ada juga teknik tanzalin yang tergolong teknik parsial.

Menggunakan contoh yang sama seperti integral parsial, mula-mula dibuat seperti demikian:

Turunan	Integral
$x-1$	$(x+3)^{2}$
$1$	$\frac{1}{3}(x+3)^{3}$
$0$	$\frac{1}{12}(x+3)^{4}$

Selanjutnya, dapat ditulis:
$\begin{align*} \int (x-1)(x+3)^2\text{ dx} &=\text{Kuning} - \text{Jingga} + C\\ &=\frac{1}{3}(x-1)(x+3)^{3}-\frac{1}{12}(x+3)^{4}+C\\ \end{align*}$

Yang warnanya sama akan dikalikan, dan setiap kali ada pergantian warna, plus-minusnya ikut bergantian juga. Contoh, mula-mula yang paling awal kuning, jadi masih positif. Warna selanjutnya jingga, maka menjadi minus. Jika ada lagi warna ke-3, maka dijadikan plus, dsb. Pola nya harusnya sudah terlihat.

Aplikasi Integral

Integral dapat digunakan untuk mencari fungsi posisi, kecepatan dan percepatan. Selain itu, juga bisa digunakan untuk mencari fungsi kurva dari gradien.

Untuk mencari luas daerah antar kurva, bisa digunakan:

$\text{17. }L=\int_{a}^{b}\left \{ f(x)-g(x) \right \} \textit{ dx}$

Untuk mencari volume benda putar yang mengelilingi sumbu X:

$\text{18. }V=\pi \int_{a}^{b}\left \{ {y_{1}}^{2}-{y_{2}}^{2}\right \} \textit{ dx}$

Untuk mencari volume benda putar yang mengelilingi sumbu Y:

$\text{19. }V=\pi \int_{a}^{b}\left \{ {x_{1}}^{2}-{x_{2}}^{2}\right \} \textit{ dy}$

Contoh Soal

Soal 1: UN 2018
Hasil dari $\int \frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+10}} \textit{ dx}$=...
$\begin{align*}&\text{A. }-\sqrt{x^2-2x+10}+C \\ &\text{B. }-\frac{1}{2}\sqrt{x^2-2x+10}+C \\ &\text{C. }\frac{1}{2}\sqrt{x^2-2x+10}+C \\ &\text{D. }\sqrt{x^2-2x+10}+C \\ &\text{E. }2\sqrt{x^2-2x+10}+C \\ \end{align*}$

Dengan menggunakan teknik integral substitusi, misalkan:
$\begin{align*} u&=x^{2}-2x+10\\ du&=2x-2 \textit{ dx}\\ \frac{du}{2}&=x-1 \textit{ dx} \end{align*}$

Kemudian, substitusikan ke persamaan utama:

$\begin{align*} \int \frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+10}} \textit{ dx} &= \int \frac{1}{2\sqrt{u}} \textit{ du} \\ &= \frac{2\sqrt{u}}{2}+C\\ &= \sqrt{u}+C\\ &= \sqrt{x^2-2x+10}+C\\ \end{align*}$

Soal 2: UNBK 2018
Diketahui $\int_{0}^{3}(x^2-2px+p+2)\textit{ dx}=3$. Nilai p yang memenuhi adalah ...

1. -3
2. -2
3. 1
4. 2
5. 3

$\begin{align*} \int_{0}^{3}(x^2-2px+p+2)\textit{ dx}&=3\\ \int_{0}^{3}(x^2-2px+(p+2))\textit{ dx}&=3\\ \frac{1}{3}x^3-px^2+(p+2)x ]_{0}^{3}&=3\\ 9-9p+3(p+2)-0&=3\\ 9-9p+3p+6&=3\\ 15-6p&=3\\ -6p&=-12\\ p&=2\\ \end{align*}$

Soal 3: UN 2016
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = -x² - 2x , y = x² + 6x , garis x = -2 dan x = -1 adalah ...
$\begin{align*} \text{A. } &7 \frac{1}{3} \text{ satuan luas}\\ \text{B. } &8 \frac{1}{3} \text{ satuan luas}\\ \text{C. } &9 \frac{2}{3} \text{ satuan luas}\\ \text{D. } &10 \frac{2}{3} \text{ satuan luas}\\ \text{E. } &11 \frac{1}{3} \text{ satuan luas}\\ \end{align*}$

Batas atas dan batas bawah dalam integral telah diketahui, yaitu -1 dan -2. Maka:

$\begin{align*} \int_{-2}^{-1}&((-x^2-2x)-(x^2+6x))\textit{ dx}\\&=\int_{-2}^{-1}(-x^2-2x-x^2-6x)\textit{ dx}\\ &= \int_{-2}^{-1}(-2x^2-8x)\textit{ dx}\\ &= -\frac{2}{3}x^3-4x^2]_{-2}^{-1}\\ &= \left ( -\frac{2}{3}(-1)^3 -4(-1)^2\right )-\left ( -\frac{2}{3}(-2)^3 -4(-2)^2\right )\\ &= \left ( \frac{2}{3} -4\right )-\left ( \frac{16}{3} -16\right )= \left ( \frac{2-12}{3}\right )-\left ( \frac{16-48}{3}\right )\\ &= -\frac{10}{3}+\frac{32}{3} \\ &=7\frac{1}{3} \end{align*}$

Soal 4: UN 2016
Hasil dari $\int \sin^52x \cos2x \textit{ dx}$=...
$\begin{align*}&\text{A. }-\frac{1}{5}\sin^62x+C\\ &\text{B. }-\frac{1}{10}\sin^62x+C\\ &\text{C. }-\frac{1}{12}\sin^62x+C\\ &\text{D. }\frac{1}{12}\sin^62x+C\\ &\text{E. }\frac{1}{10}\sin^62x+C\\ \end{align*}$

Dengan menggunakan teknik integral substitusi, misalkan:
$\begin{align*} u &=\sin 2x \\ du &=2 \cos 2x \textit{ dx} \\ \frac{du}{2}&= \cos 2x \textit{ dx} \\ \end{align*}$

Kemudian, substitusikan ke persamaan utama:

$\begin{align*} \int \sin^52x \cos2x \textit{ dx}&=\frac{1}{2}\int u^5\textit{ du} \\ &=\frac{1}{2}.\frac{1}{6}\sin^6 2x+C \\ &=\frac{1}{12}\sin^6 2x+C \\ \end{align*}$

Soal 5: UN 2016
Hasil $\int 2x(5-x)^3 \textit{ dx}$ = ...
$\begin{align*} &\text{A. }-\frac{1}{10}(4x+5)(5-x)^4+C\\ &\text{B. }-\frac{1}{10}(6x+5)(5-x)^4+C\\ &\text{C. }-\frac{1}{10}(x+5)(5-x)^4+C\\ &\text{D. }\frac{1}{10}(4x+5)(5-x)^4+C\\ &\text{E. }\frac{1}{2} (5+x)^4+C\\ \end{align*}$

Dengan menggunakan teknik integral tanzalin:

Turunan	Integral
$2x$	$(5-x)^{3}$
$2$	$-\frac{1}{4}(5-x)^{4}$
$0$	$\frac{1}{20}(5-x)^{5}$

Maka dapat ditulis:

$\begin{align*} \int 2x(5-x)^3 \textit{ dx} &= \text{Kuning} - \text{Jingga} + C\\ &=-\frac{2}{4}x(5-x)^4-\frac{2}{20}(5-x)^5+C \\ &= -\frac{1}{2}x(5-x)^4-\frac{1}{10}(5-x)(5-x)^4+C\\ &=-\frac{5}{10}x(5-x)^4-\frac{(5-x)}{10}(5-x)^4+C\\ &=\left ( \frac{-5x -(5-x)}{10}\right )(5-x)^4+C\\ &=\left ( \frac{-5-4x}{10}\right )(5-x)^4+C\\ &=-\frac{1}{10}(4x+5)(5-x)^4+C\\ \end{align*}$