Turunan

Turunan:

1. Definisi Turunan
2. Sifat Turunan
3. Turunan Fungsi Trigonometri

Definisi Turunan

Turunan dari fungsi f(x), atau ditulis f'(x), dapat dicari melalui definisi turunan:

$\text{1. }f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Untuk fungsi f(x) = axⁿ, dimana a adalah konstanta, turunannya adalah:

$\text{2. }f'(x)=nax^{n-1}$

Sifat-Sifat Turunan

Turunan memenuhi sifat-sifat berikut:(k adalah konstanta, u dan v adalah fungsi.)

$\begin{align*} \text{3. }&f(x)=k \\ &f'(x)=0\\ \text{4. }&f(x)= ku\\ &f'(x)=k.u' \\ \text{5. }&f(x)=u\pm v \\ &f'(x)=u'\pm v'\\ \text{6. }&f(x)=u.v \\ &f'(x)=u'v+uv'\\ \text{7. }&f(x)=\frac{u}{v}\\ &f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}\\ \text{8. }&f(x)=f(u)\\ &f'(x)=f'(u).u'\\ \text{9. }&f(x)=(g \circ h)(x)=g(h(x))\\ &f'(x)=g'(h(x)).h'(x) \end{align*}$

Turunan Fungsi Trigonometri

Berikut turunan fungsi trigonometri: (a dan b adalah konstanta)

$\begin{align*} \text{10. }&f(x)=\sin(ax+b) \\ &f'(x)=a.\cos(ax+b)\\ \text{11. }&f(x)=\cos(ax+b)\\ &f'(x)=-a.\sin(ax+b) \\ \text{12. }&f(x)=\tan(ax+b) \\ &f'(x)=a.\sec^{2}(ax+b)\\ \text{13. }&f(x)=\csc(ax+b)\\ &f'(x)=-a.\csc(ax+b).\cot(ax+b)\\ \text{14. }&f(x)=\sec(ax+b)\\ &f'(x)=a.\sec(ax+b).\tan(ax+b)\\ \text{15. }&f(x)=\cot(ax+b)\\ &f'(x)=-a.\csc^{2}(ax+b) \end{align*}$

Aplikasi Turunan

Turunan pertama dari fungsi f(x) adalah gradien kurva tersebut.

Jika:

• f'(x) > 0: maka fungsi naik pada interval tersebut.
• f'(x) < 0: maka fungsi turun pada interval tersebut.

Jika:

• a > 0: maka fungsi definit naik.
• a < 0: maka fungsi definit turun.

Fungsi akan mencapai stasioner saat f'(x)=0.

Titik belok dari suatu fungsi adalah jika f''(x)=0.

Contoh Soal

Soal 1: UN 2017
Diketahui grafik fungsi y = 2x² - 3x + 7 berpotongan dengan garis y = 4x + 1. Salah satu persamaan garis singgung yang melalui titik potong kurva dan garis tersebut adalah ...

1. y = 5x + 7
2. y = 5x - 1
3. y = x + 5
4. y = 3x - 7
5. y = 3x + 5

Dari soal, diketahui fungsi dan garis berpotongan. Maka, titik potong yang dimaksud dapat dicari:
$\begin{align*} 2x^2-3x+7 &=4x+1 \\ 2x^2-7x+6 &=0 \\ (2x-3)(x-2)&=0 \\ \end{align*}$

Dua titik potong antara kurva dan garis tersebut adalah x = 1.5 dan x = 2, dan selanjutnya diketahui dua titik potong yang dimaksud, yaitu:
(1.5 , 7) dan (2 , 9). Selanjutnya, jika fungsi kurva diturunkan akan didapat gradien kurva tersebut.
$\begin{align*} f'(x)=m&=4x-3\\ f'(2)=m&=4(2)-3\\ m&=5\\ \end{align*}$

Dengan diketahuinya gradien kurva, langsung saja titik dan gradien dapat dimasukkan ke rumus y - y₁ = m (x - x₁):
$\begin{align*} y-y_{1}&=m(x-x_{1})\\ y-9&=(5)(x-2)\\ y-9&=5x-10\\ y&=5x-1\\ \end{align*}$

Soal 2: UN 2018
Diketahui f(x) = 5x - 3 dan g(x) = 4x² - 3x. Jika h(x) = f(x).g(x) dan h'(x) merupakan turunan dari h(x), maka h'(x) = ...

1. 40x - 15
2. -20x² + 24x - 9
3. 20x³ - 27x² + 9x
4. 20x² + 25x² - 15
5. 60x² - 54x + 9

Fungsi h(x) yang akan diturunkan adalah: h(x) = (5x - 3)(4x² - 3x). Jadi:

$\begin{align*} h(x)&=(5x-3)(4x^2-3x)\\ h'(x)&=5(4x^2-3x)+(8x-3)(5x-3)\\ h'(x)&=(20x^2-15x)+(40x^2-39x+9)\\ h'(x)&=60x^2-54x+9 \end{align*}$

Soal 3: UN 2018
Suatu industri rumah tangga memproduksi barang selama x hari dengan biaya produksi setiap harinya $\left ( 4x+\frac{100}{x}+40 \right )$ juta rupiah. Biaya minimum produksi industri rumah tangga dalam ribu rupiah adalah ...

1. Rp 75.000.000,00
2. Rp 80.000.000,00
3. Rp 90.000.000,00
4. Rp 120.000.000,00
5. Rp 145.000.000,00

Fungsi akan bernilai maksimum/minimum ketika f'(x)=0, maka:
$\begin{align*} f(x)&= 4x+\frac{100}{x}+40\\ f'(x)&= 4-\frac{100}{x^{2}} \\ \frac{100}{x^{2}}&=4\\ x^{2}&=25\\ x&=5 \end{align*}$

Dengan demikian, diketahui bahwa biaya minimum produksi adalah saat x=5. Jika disubstitusikan kedalam fungsi f(x):
$\begin{align*} f(5)&= 4x+\frac{100}{x}+40\\ f(5)&= 4(5)+\frac{100}{5}+40 \\ f(5)&= 20+20+40 \\ f(5)&=80 \end{align*}$

Maka, biaya minimum produksi nya adalah Rp 80.000.000,00.

Soal 4: UN 2017
Sebuah akuarium tanpa tutup memiliki alas berbentuk persegi panjang dengan perbandingan panjang dan lebarnya 2 : 3. Jika luas permukaan akuarium adalah 1.800 cm³, volume maksimum akuarium tersebut adalah ...

1. 3.600 cm³
2. 5.400 cm³
3. 6.300 cm³
4. 7.200 cm³
5. 8.100 cm³

Mula-mula, diketahui bahwa panjang dan lebar akuarium diketahui dalam bentuk perbandingan. Maka, akan dimisalkan a sebagai variabel pengali panjang dan lebar, karena panjang dan lebar akuarium itu sendiri belum tentu 2 dan 3, dsb. Maka, digunakan variabel pengali. Bentuk persamaan luas permukaan:

$\begin{align*} A&=(3a)(2a)+2(3a)(t)+2(2a)(t)\\ 1800&=6a^2+6at+4at\\ 1800&=6a^2+10at\\ 1800-6a^2&=10at\\ \frac{1800-6a^2}{10}&=at \end{align*}$

Lalu, persamaan volume:
$\begin{align*} V&=(3a)(2a)(t)\\ V&=6a^2t\\ \end{align*}$

Substitusikan at ke dalam persamaan volume, lalu turunkan. Ingat juga fungsi akan maksimum bila turunannya sama dengan nol:
$\begin{align*} V&=6a^2t\\ V&=6a(at)\\ V&=6a\left ( \frac{1800-6a^2}{10} \right )\\ V&=6a\left ( 180-\frac{6}{10}a^2 \right )\\ V&=1080a-\frac{36}{10}a^3\\ V'&=1080-\frac{108}{10}a^2\\ \frac{108}{10}a^2&=1080\\ a^2&=100\\ a&=10\\ \end{align*}$

Dengan diketahuinya nilai a yang membuat volume maksmimum, substitusikan nilai a ke dalam persamaan at terlebih dahulu untuk mendapatkan t:
$\begin{align*} \frac{1800-6a^2}{10}&=at\\ \frac{1800-600}{10}&=10t\\ \frac{1200}{10}&=10t\\ t&=12\\ \end{align*}$

Substitusikan nilai a dan t ke dalam persamaan volume, untuk mendapatkan volume maksimum:
$\begin{align*} V&=6a^2t\\ V&=6(10)^2(12)\\ V&=600(12)\\ V&=7200 \end{align*}$

Jadi, volume maksimumnya adalah 7.200 cm³.

Soal 5: UNBK 2018
Persamaan garis singgung kurva x² − 3x + 5 yang sejajar dengan garis 5x - y + 1 = 0 adalah ...

1. 5x - y - 29 = 0
2. 5x - y - 11 = 0
3. 5x - y + 11 = 0
4. 5x + y - 11 = 0
5. 5x + y - 29 = 0

Dari soal diketahui bahwa persamaan garis singgung yang dicari memiliki gradien yang sama (sejajar) dengan garis 5x - y + 1 = 0.
$\begin{align*} 5x - y + 1 &= 0 \\ 5x+1&=y \\ m&=5 \\ \end{align*}$

Turunan kurva merupakan gradien kurva tersebut. Gradien kurva ini sama dengan gradien garis yang dicari:
$\begin{align*} y&=x^2-3x+5\\ m&=2x-3\\ 5&=2x-3\\ 8&=2x\\ x&=4\\ \end{align*}$

Nilai x yang didapat merupakan salah satu titik yang bersinggungan antara kurva dengan garis. Substitusikan x kedalam kurva untuk mendapatkan koordinat y dari titik singgung:
$\begin{align*} y&=x^2-3x+5\\ y&=16-12+5\\ y&=9 \end{align*}$

Setelah diketahui titik dan gradien, maka persamaan garis singgung dapat dicari:
$\begin{align*} y-y_{1}&=m(x-x_{1})\\ y-9&=5(x-4)\\ y&=5x-20+9\\ y&=5x-11\\ \end{align*}$

Persamaan garis singgungnya adalah
5x - y - 11 = 0.

Soal 6: UNBK 2018
Diketahui fungsi f(x) = (x² - 2x + 1)(x + 1). Turunan pertama dari f(x) adalah ...

1. f'(x)=x² -2x + 1
2. f'(x)=x² + 2x + 1
3. f'(x)=3x² - 2x - 1
4. f'(x)=3x² - 2x + 1
5. f'(x)=3x² + 2x + 1

Bentuk turunannya dapat diurai menjadi bentuk turunan u'v+uv'. Maka:

$\begin{align*} f(x)&=(x^{2}-2x+1)(x+1) \\ f'(x)&=(2x-2)(x+1)+(x^{2}-2x+1)(1) \\ f'(x)&=2x^{2}-2+x^{2}-2x+1 \\ f'(x)&=3x^{2}-2x-1 \end{align*}$