Eksponen dan Logaritma

Eksponen dan Logaritma:

1. Sifat Eksponen
2. Sifat Logaritma
3. Fungsi Eksponen
4. Fungsi Logaritma
5. Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen
6. Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma

Sifat Pangkat

$\begin{align*} &\text{1. }a^{n}=a \times a \times ... \times a\\ &\text{2. }a^{0}=1 \text{, jika }a \neq 0\\ &\text{3. }a^{-n}=\frac{1}{a^n}\\ &\text{4. }a^{m+n}=a^m \times a^n\\ &\text{5. }a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}\\ &\text{6. }(a^m)^n=a^{m \times n}\\ &\text{7. } (ab)^n=a^n \times b^n\\ &\text{8. } \left ( \frac{a}{b} \right )^n=\frac{a^n}{b^n}\\ &\text{9. }a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\\ &\text{10. }b^n=a\Leftrightarrow \sqrt[n]{a}=b\\ &\text{11. }p\sqrt[n]{a} \pm q\sqrt[n]{a} =(p\pm q)\sqrt[n]{a} \\ &\text{12. }\sqrt[n]{a \times b}=\sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b}\\ &\text{13. }\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\\ &\text{14. }\sqrt{a}\pm \sqrt{b}=\sqrt{(a+b)\pm 2\sqrt{ab}}\text{, jika }a>b \end{align*}$

Sifat Logaritma

$\begin{align*} &\text{15. }^{a}\log{b}=c\Leftrightarrow a^c=b\text{, dengan }a>0 \text{, }a\neq 1\\ &\text{16. }^{a}\log{a}=1\\ &\text{17. }^{a}\log{b}=\frac{1}{^{b}\log{a}}=\frac{^{p}\log{b}}{^{p}\log{a}}\text{, dengan }p>0\text{, }p\neq 1\\ &\text{18. }^{a}\log{b}+^{a}\log{c}=^{a}\log{(b \times c)}\\ &\text{19. }^{a}\log{b}-^{a}\log{c}=^{a}\log{\left (\frac{b}{c} \right )}\\ &\text{20. }^{a^m}\log{b^n}=\frac{n}{m}(^{a}\log{b})\\ &\text{21. }^{a}\log{b}\times^{b}\log{c}=^{a}\log{c}\\ &\text{22. }a^{{}^{a}\log{b}}=b \end{align*}$

Catatan:
Penulisan logaritma berikut sama saja maknanya:
$^{a}\log{b}=c \Leftrightarrow \log_{a} {b}= c$

Fungsi Eksponen

Secara umum, fungsi eksponen y = a^x digambarkan seperti berikut:

Keterangan:
Kurva merah: a > 1
Kurva biru: 0 < a < 1

Fungsi Logaritma

Secara umum, fungsi logaritma y = ^alog x digambarkan seperti berikut:

Keterangan:
Kurva merah: a > 1
Kurva biru: 0 < a < 1

Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen

Persamaan Eksponen

Bentuk	Syarat	Solusi
af(x) = ak	a > 0 dan a ≠ 1	f(x) = k
af(x) = ag(x)	a > 0 dan a ≠ 1	f(x) = g(x)
af(x) = bf(x)	a > 0 , b > 0 , a ≠ 1 dan a ≠ b	f(x) = 0
af(x) = bg(x)	-	f(x) . log (a) = g(x) . log b

Pertidaksamaan Eksponen
Untuk 0 < a < 1:

Bentuk	Syarat	Solusi
af(x) ≥ ag(x)	f(x) > 0, g(x) > 0	f(x) ≤ g(x)
af(x) ≤ ag(x)	f(x) > 0, g(x) > 0	f(x) ≥ g(x)

Untuk a > 1:

Bentuk	Syarat	Solusi
af(x) ≥ ag(x)	f(x) > 0, g(x) > 0	f(x) ≥ g(x)
af(x) ≤ ag(x)	f(x) > 0, g(x) > 0	f(x) ≤ g(x)

Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma

Persamaan Logaritma

Bentuk	Syarat	Solusi
alog f(x) = alog k	a ≠ 1 dan f(x) > 0	f(x) = k
alog f(x) = alog g(x)	a ≠ 1 , f(x) > 0 dan g(x) > 0	f(x) = g(x)
alog f(x) = blog f(x)	-	f(x) = 1
h(x)log f(x) = h(x)log g(x)	f(x) > 0 , g(x) > 0 , h(x) > 0 , h(x) ≠ 1	f(x) = g(x)

Pertidaksamaan Logaritma
Untuk 0 < a < 1:

Bentuk	Syarat	Solusi
alog f(x) ≥ alog g(x)	f(x) > 0, g(x) > 0	f(x) ≤ g(x)
alog f(x) ≤ alog g(x)	f(x) > 0, g(x) > 0	f(x) ≥ g(x)

Untuk a > 1:

Bentuk	Syarat	Solusi
alog f(x) ≥ alog g(x)	f(x) > 0, g(x) > 0	f(x) ≥ g(x)
alog f(x) ≤ alog g(x)	f(x) > 0, g(x) > 0	f(x) ≤ g(x)

Aplikasi Fungsi Eksponen dan Logaritma

Bunga majemuk, dengan B sebagai bunga, T sebagai waktu, dan M sebagai modal:

$\text{23. }M_i=M_o(1+B)^t$

Contoh Soal

Soal 1
Jika $x=\sqrt[3]{27}$ dan $y=\frac{2^{-4}.3^{-3}}{2^{-7}.3^{-3}}$, maka $\sqrt{x+\sqrt{y}}$ adalah ...

1. $3$
2. $\sqrt{2} - 1$
3. $8$
4. $\sqrt{11}$
5. $\sqrt{2} + 1$

Mula-mula, sederhanakan dulu x dan y:

$\begin{align*} x &= 3\\ y &= 8 \end{align*}$

Masukkan x dan y:

$\begin{align*} \sqrt{x+\sqrt{y}}&=\sqrt{3+\sqrt{8}}\\ &=\sqrt{3+\sqrt{4 \times 2}}\\ &=\sqrt{3+2\sqrt{2}}\\ &=\sqrt{2} + 1 \end{align*}$

Soal 2
Jika $x+x^{-1}=A$, maka $x^3+x^{-3}$ sama dengan ...

1. $A^{-3} + 3A$
2. $A^3$
3. $A^3 - 3A$
4. $A^5 - 5A^3 + 5A$
5. $A^{-3} - 3A$

Bayangkan segitiga pascal yang mewakili koefisien dari perkalian (a+b)^n:

$\begin{align*} (a+b)^0 = 1\\ (a+b) = a+b\\ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\\ (a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\ ... \end{align*}$

Tentu saja, untuk soal ini, a nya x dan b nya seper x:

$\begin{align*} \left(x+\frac{1}{x} \right)^0 = 1\\ \left(x+\frac{1}{x} \right) = A\\ \left(x+\frac{1}{x} \right)^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} =A^2\\ \left(x+\frac{1}{x} \right)^3 = x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3} = A^3\\ ... \end{align*}$

Karena yang ditanya adalah yang pangkat 3, tentu kita akan memanfaatkan persamaan yang pangkat 3:

$\begin{align*} x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3} &= A^3\\ x^3 + \frac{1}{x^3} &= A^3 - 3\left (x + \frac{1}{x} \right )\\ x^3 + \frac{1}{x^3} &= A^3 - 3A\\ \end{align*}$

Soal 3
Jika $x=2$, maka $\frac{x^{a+8}-x^a.x^4}{x^4.x^{a+4}}$ sama dengan ...

1. $1$
2. $\frac{15}{16}$
3. $\frac{2^{a+8}-1}{16}$
4. $2a$
5. $\frac{7}{8}$

Sebelum substitusi, lebih baik jika menyederhanakannya terlebih dahulu:

$\begin{align*} &\frac{x^{a+8}-x^a.x^4}{x^4.x^{a+4}}\\ &=\frac{x^{a+8}-x^{a+4}}{x^4.x^{a+4}}\\ &=\frac{x^{4}-1}{x^4}\\ &=\frac{2^{4}-1}{2^4}\\ &=\frac{15}{16} \end{align*}$

Soal 4
Hasil dari $\sqrt{4+\sqrt{15}}$ adalah ...

1. $\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{5}{2}}$
2. $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$
3. $\sqrt{4}+\sqrt{15}$
4. $\sqrt{4}-\sqrt{15}$
5. $\sqrt{6}+\sqrt{10}$

$\begin{align*} &\sqrt{4+\sqrt{15}}\\ &=\sqrt{\frac{8+2\sqrt{15}}{2}}\\ &=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\\ &=\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{5}{2}} \end{align*}$

Soal 5
Dari keempat grafik berikut, manakah grafik yang paling mungkin untuk merepresentasikan $y=2^{-x}$? Jika tidak ada yang sesuai, jawab soal ini dengan pilihan E.

Grafik yang paling mungkin adalah pilihan B.

Soal 6
Berikut merupakan tabel berisi titik-titik yang terletak pada suatu fungsi eksponen $f(x) = a^x + b$, dimana a dan b merupakan bilangan real:

x	0	1	2
f(x)	2	3	5

Maka, f(x) = ...

1. $f(x) = 2^x$
2. $f(x) = 3^x$
3. $f(x) = 2^x-1$
4. $f(x) = 2^x+1$
5. $f(x) = 2^x-3$

Dari soal, kita sudah diberi petunjuk bahwa f(x) memenuhi bentuk tertentu. Maka dari itu, kita dapat mensubstitusikan titik ke bentuk tersebut agar kita dapat mengetahui nilai a dan b.

$\begin{align*} f(x)&=a^x + b\\ f(0)&=1+b\\ b&=1\\ \\ f(1)&=a+b\\ 3&=a+1\\ a&=2\\ \\ f(x)&=2^x+1 \end{align*}$

Soal 7
Berikut merupakan grafik dari $f(x) = \left(\frac{5}{4}\right)^{x}$:

Nilai dari $a^2 - 4$ adalah ...

1. $1$
2. $0$
3. $5$
4. $16$
5. $12$

$\begin{align*} \frac{625}{256}&=\left(\frac{5}{4}\right)^{a}\\ \left(\frac{5}{4}\right)^{4}&=\left(\frac{5}{4}\right)^{a}\\ a&=4\\ \\ a^2-4&=12 \end{align*}$

Soal 8
Diketahui dua fungsi f dan g, masing-masing fungsi didefinisikan sebagai berikut:
$\begin{align*} f(x) &= 2^{2x+8}\\ g(x) &= \frac{16^{-1}}{4^{x}} \end{align*}$

Fungsi f dan g ini berpotongan di titik (a, b). Nilai dari a+b adalah ...

1. -2
2. -1
3. 0
4. 1
5. 2

$\begin{align*} f(x)&=g(x)\\ 2^{2x+8}&=\frac{16^{-1}}{4^{x}}\\\ 4^{x+4}&=4^{-x-2}\\ x+4&=-x-2\\ 2x&=-6\\ x&=-3\\ \\ f(-3)&=4 \\ a+b&=-3+4\\ &=-1 \end{align*}$

Soal 9
Terdapat 3 nilai a, b dan c yang memenuhi persamaan $(2x^2-13x+15)^{x-3}=(x^2-4x+1)^{x-3}$. Jika $a > b > c$, berapakah nilai dari $\frac{a^{c}\cdot c^{a}\cdot a^{\left(b-c\right)}}{\left(a^{b}\cdot c^{\left(a-b\right)}\right)}$?

1. $8$
2. $\frac{8}{7}$
3. $7$
4. $\frac{8}{49}$
5. $1$

Jika x=3, ruas kiri dan ruas kanan akan menjadi sama. Maka, kita mendapatkan salah satu dari tiga nilai yang memenuhi persamaan.

Selanjutnya:
$\begin{align*} (2x^2-13x+15)^{x-3}&=(x^2-4x+1)^{x-3}\\ (2x^2-13x+15)&=(x^2-4x+1)\\ x^2-9x+14&=0\\ (x-7)(x-2)&=0\\ \end{align*}$

Maka, kita sudah mendapatkan nilai a, b, c nya, yaitu 7, 3 dan 2:
$\begin{align*} &\frac{a^{c}\cdot c^{a}\cdot a^{\left(b-c\right)}}{\left(a^{b}\cdot c^{\left(a-b\right)}\right)} \\ &=a^{\left(c-b+b-c\right)}\cdot c^{\left(a-a+b\right)} \\ &=a^{0}\cdot c^{\left(b\right)} \\ &=1 \times 2^3 \\ &=8 \end{align*}$

Soal 10
p dan q merupakan akar-akar yang memenuhi persamaan $\left(0.25\right)^{x}-6\left(0.5\right)^{x}+8=0$. Jika $p > q$, maka nilai dari $pq^2$ adalah ...

1. 16
2. -1
3. 2
4. -2
5. -4

$\begin{align*} f(x)&=g(x)\\ 2^{2x+8}&=\frac{16^{-1}}{4^{x}}\\\ 4^{x+4}&=4^{-x-2}\\ x+4&=-x-2\\ 2x&=-6\\ x&=-3\\ \\ f(-3)&=4 \\ a+b&=-3+4\\ &=-1 \end{align*}$

Soal 11: UN 2018
Hasil dari $\frac{^{3}\log{36}.^{6}\log{81}+^{4}\log{32}}{^{\frac{1}{9}}\log{27}}$ adalah ...

1. 11
2. 7
3. 4
4. -7
5. -11

$\begin{align*} &\frac{^{3}\log{36}.^{6}\log{81}+^{4}\log{32}}{^{\frac{1}{9}}\log{27}}\\&=\frac{^{3}\log{6^{2}.^{6}\log{3^4}+^{2^{2}}\log{2^{5}}}}{^{3^{-2}}\log{3^3}}\\ &=\frac{2.4.^{3}\log{3}+\frac{5}{2}.^{2}\log{2}}{-\frac{3}{2}}\\ &=\frac{8+\frac{5}{2}}{-\frac{3}{2}}\\ &=-7 \end{align*}$

Soal 12: UN 2018
Jika x > 0 dan y > 0, maka $\frac{3-3\log^{2}{xy}}{1-\log{x^{3}y^{2}+2\log{x\sqrt{y}}}}$=...
$\begin{align*} \text{A}&.3+\log{xy} \\ \text{B}&.3\log{xy} \\ \text{C}&.3\log{10xy} \\ \text{D}&.\frac{1}{3}\\ \text{E}&.3 \end{align*}$

$\begin{align*} &\frac{3-3\log^{2}{xy}}{1-\log{x^{3}y^{2}+2\log{x\sqrt{y}}}}\\&=\frac{3(1-\log^{2}{xy})}{1-\log{(xy)^{2}x+\log{x^{2}y}}}\\ &=\frac{3(1-\log^{2}{xy})}{1-(\log{(xy)^{2}+\log(x))+\log{xy}+\log{x}}} \\ &=\frac{3(1-\log^{2}{xy})}{1-\log{xy}} \\ &=3(1+\log{xy})=3+3\log{xy}\\ &=\log{10^{3}+\log{x^{3}y^{3}}}=\log{(10xy)^{3}}\\ &=3\log{10xy} \end{align*}$

Soal 13: UN 2017

$\text{Hasil dari } \frac{8^{-\frac{3}{5}}.9^{\frac{5}{4}}}{81^{-\frac{1}{8}}.64^\frac{1}{5}} \text{ adalah ...}\\ \begin{matrix} \text{A.}&\frac{27}{2}\\ \text{B.}&\frac{9}{2}\\ \text{C.}&\frac{27}{8}\\ \text{D.}&\frac{9}{8}\\ \text{E.}&\frac{8}{27}\\ \end{matrix}$

$\begin{align*} &\frac{8^{-\frac{3}{5}}.9^{\frac{5}{4}}}{81^{-\frac{1}{8}}.64^\frac{1}{5}}\\&=\frac{(2^{3})^{-\frac{3}{5}}.(3^{2})^{\frac{5}{4}}}{(3^4)^{-\frac{1}{8}}.(2^6)^{\frac{1}{5}}} \\ &=\frac{2^{-\frac{9}{5}}.3^\frac{5}{2}}{3^{-\frac{1}{2}}.2^{\frac{6}{5}}} \\ &=2^{-\frac{9}{5}-\frac{6}{5}}.3^{\frac{5}{2}+\frac{1}{2}} \\ &=2^{-3}.3^{3} \\ &=\frac{27}{8} \end{align*}$

Soal 14: UN 2017
Bentuk sederhana dari $\frac{(\sqrt{10}-\sqrt{5})(\sqrt{10}+\sqrt{5})}{2\sqrt{11}+\sqrt{19}}$ adalah ...
$\begin{align*} \text{A}&\text{. }5(2\sqrt{11}-\sqrt{19}) \\ \text{B}&\text{. }\frac{1}{5}(2\sqrt{11}+\sqrt{19}) \\ \text{C}&\text{. }\frac{1}{5}(2\sqrt{11}-\sqrt{19}) \\ \text{D}&\text{. }-\frac{1}{5}(2\sqrt{11}-\sqrt{19}) \\ \text{E}&\text{. }-\frac{1}{5}(2\sqrt{11}+\sqrt{19}) \\ \end{align*}$

$\begin{align*} &\frac{(\sqrt{10}-\sqrt{5})(\sqrt{10}+\sqrt{5})}{2\sqrt{11}+\sqrt{19}}\\ &=\frac{10-5}{2\sqrt{11}+\sqrt{19}}\times \frac{2\sqrt{11}-\sqrt{19}}{2\sqrt{11}-\sqrt{19}}\\ &=\frac{5(2\sqrt{11}-\sqrt{19})}{44-19} \\ &=\frac{1}{5}(2\sqrt{11}-\sqrt{19})\\ \\ \end{align*}$

Soal 15: UN 2016
Setiap tahun harga jual tanah di sebuah komplek perumahan mengalami kenaikan 20% dari tahun sebelumnya, sedangkan harga jual bangunannya mengalami penurunan 5% dari tahun sebelumnya. Harga jual sebuah rumah (tanah dan bangunan) saat ini dikomplek tersebut apabila 5 tahun yang lalu dibeli seharga 210 juta rupiah dan perbandingan harga jual tanah terhadap bangunan pada saat pertama kali membeli 4 : 3 adalah ...

$\begin{align*} \text{A. }&\left \{ 120\left ( \frac{6}{5} \right )^{4}+90\left ( \frac{19}{10} \right )^{4} \right \}\text{ jt rupiah} \\ \text{B. }&\left \{ 90\left ( \frac{6}{5} \right )^{5}+120\left ( \frac{19}{10} \right )^{5} \right \}\text{ jt rupiah} \\ \text{C. }&\left \{ 90\left ( \frac{1}{5} \right )^{4}+120\left ( \frac{19}{20} \right )^{4} \right \}\text{ jt rupiah} \\ \text{D. }&\left \{ 120\left ( \frac{1}{5} \right )^{5}+90\left ( \frac{19}{20} \right )^{5} \right \}\text{ jt rupiah} \\ \text{E. }&\left \{ 120\left ( \frac{6}{5} \right )^{5}+90\left ( \frac{19}{20} \right )^{5} \right \}\text{ jt rupiah} \\ \end{align*}$

Harga jual tanah dan bangunan memiliki perbandingan 4 : 3, dan ketika dijumlah menjadi 210 juta. Maka, Harga jual tanah dan bangunan berturut-turut adalah 120 juta dan 90 juta.
Dengan konsep perhitungan yang sama dengan bunga majemuk, harga jual totalnya bisa dihitung:

$\begin{align*} \text{Harga}&=\text{Harga Tanah }+\text{Harga Bangunan}\\ &=\left \{ 120\left ( 1+\frac{1}{5} \right )^{5} \right \}+\left \{ 90\left ( 1-\frac{1}{20} \right )^{5} \right \} \\ &= \left \{ 120\left ( \frac{6}{5} \right )^{5} \right \}+\left \{ 90\left ( \frac{19}{20} \right )^{5} \right \} \\ &= \left \{ 120\left ( \frac{6}{5} \right )^{5} + 90\left ( \frac{19}{20} \right )^{5} \right \}\text{ juta rupiah} \\ \end{align*}$

Soal 16: UN 2018
Nilai x yang memenuhi

$^{\frac{1}{3}}\log{(x+\sqrt{3})+^{\frac{1}{3}}\log{(x-\sqrt{3})}}>0$

adalah ...
$\begin{align*} &\text{A. }x<-\sqrt{3}\text{ atau }0<x<2 \\ &\text{B. }-2<x<-\sqrt{3}\text{ atau }\sqrt{3}<x<2 \\ &\text{C. }\sqrt{3}<x<2 \\ &\text{D. }-2<x<2 \\ &\text{E. }-\sqrt{3}<x<2 \\ \end{align*}$

$\begin{align*} ^{\frac{1}{3}}\log{(x+\sqrt{3})+^{\frac{1}{3}}\log{(x-\sqrt{3})}}&>0 \\ ^{\frac{1}{3}}\log{(x+\sqrt{3})}&>-^{\frac{1}{3}}\log{(x-\sqrt{3})} \\ ^{\frac{1}{3}}\log{(x+\sqrt{3})}&>^{\frac{1}{3}}\log{(x-\sqrt{3})}^{-1} \\ x+\sqrt{3}&<(x-\sqrt{3})^{-1}\\ x+\sqrt{3}&<\frac{1}{(x-\sqrt{3})}\\ (x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})&<1\\ (x^2-3)&<1\\ x^2-4&<0\\ (x-2)(x+2)&<0\\ \end{align*}$

Maka, himpunan penyelesaian pertama -2 < x < 2. Kembali ke persamaan awal:

$\begin{align*} ^{\frac{1}{3}}\log{(x+\sqrt{3})+^{\frac{1}{3}}\log{(x-\sqrt{3})}}&>0\\ ^{\frac{1}{3}}\log{(x^{2}-3)}&>0\\ \end{align*}$

Nilai x² - 3 tidak boleh negatif. Maka,

$\begin{align*} x^{2}-3&>0\\ (x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})&>0 \end{align*}$

Maka, himpunan penyelesaian kedua x < -√3 dan x > √3. Jika kedua himpunan penyelesaian digabung, akan didapat: -2 < x < -√3 dan √3 < x < 2.