Persamaan, Pertidaksamaan dan Fungsi Kuadrat

Persamaan, Pertidaksamaan dan Fungsi Kuadrat:

1. Persamaan Kuadrat
2. Fungsi Kuadrat
3. Pertidaksamaan Kuadrat

Persamaan Kuadrat

Bentuk umum persamaan kuadrat: ax² + bx + c = 0
Akar-akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan metode pemfaktoran, atau dengan rumus:

$\text{1. }x_{1,2} = -\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Diskriminan pada persamaan kuadrat:

$\begin{align*} &\text{2. }D=b^2-4ac \end{align*}$

Berdasarkan nilai diskriminan, maka:

D > 0	D = 0	D < 0	D = k2	D ≠ k2
Akar-akar real berlainan	Akar-akar real kembar	Akar-akar tidak real	Akar rasional	Akar irrasional

Beberapa rumus akar:

$\begin{align*} \text{3. }&x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}\\ \text{4. }&x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a} \\ \text{5. }&|x_{1}-x_{2}|=\frac{\sqrt{D}}{|a|}\\ \text{6. }&\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}.x_{2}}\\ \text{7. }&{x_{1}}^2+{x_{2}}^2=(x_{1}+x_{2})^2-2(x_{1}.x_{2})\\ \text{8. }&{x_{1}}^2-{x_{2}}^2=(x_{1}+x_{2})(x_{1}-x_{2})\\ \text{9. }&{x_{1}}^3+{x_{2}}^3=(x_{1}+x_{2})^3-3(x_{1}.x_{2})(x_{1}+x_{2})\\ \text{10. }&{x_{1}}^3-{x_{2}}^3=(x_{1}-x_{2})^3+3(x_{1}.x_{2})(x_{1}-x_{2})\\ \end{align*}$

Fungsi Kuadrat

Bentuk umum fungsi kuadrat: f(x) = ax² + bx + c
Rumus koordinat puncak fungsi:

X (Sumbu Simetri)	Y (Nilai Max/Min - Ekstrem)
$\text{11. }x_{p}=-\frac{b}{2a}$	$\text{12. }y_{p}=-\frac{D}{4a}$

Sifat kurva berdasarkan nilai D:

• D > 0: Terdapat 2 titik potong di sumbu x.
• D = 0: Kurva menyinggung sumbu x di satu titik.
• D < 0: Kurva tidak menyinggung sumbu x.

Sifat kurva berdasarkan nilai a:

• a > 0: Kurva membuka keatas, sehingga ada titik minimum.
• a < 0: Kurva membuka kebawah, sehingga ada titik maksimum.

Sifat kurva berdasarkan nilai b:

• a dan b bertanda sama: Titik puncak berada di sebelah kiri sumbu y.
• a dan b bertanda beda: Titik puncak berada di sebelah kanan sumbu y.

Sifat kurva berdasarkan nilai c:

• c > 0: Kurva berpotongan dengan sumbu y positif.
• c < 0: Kurva berpotongan dengan sumbu y negatif.

Menyusun persamaan fungsi jika diketahui:

• Kurva memotong sumbu x di dua titik. Misalkan x₁ dan x₂ sebagai titik pertama dan kedua:

  $\begin{align*} \text{13. }&y=a(x-x_{1})(x-x_{2})\\ \end{align*}$

  
  
• Titik puncak kurva. Misalkan x_p dan y_p sebagai titik puncak kurva:

  $\begin{align*} \text{14. }&y=a(x-x_{p})^2+y_{p}\\ \end{align*}$

  
  
• Kurva menyinggung sumbu x di satu titik. Misalkan x₁ sebagai titik potong kurva di sumbu x:

  $\begin{align*} \text{15. }&y=a(x-x_{1})^2\\ \end{align*}$

Misalkan ada garis y₁ = px + q dengan kurva y₂ = ax² + bx + c. Kedua fungsi bisa disamakan (y₁ = y₂). Setelah didapat persamaan baru, hubungan antara garis dan kurva tersebut dapat diketahui:

D > 0	D = 0	D < 0
Garis dan kurva berpotongan di dua titik.	Garis dan kurva bersinggungan di satu titik.	Garis tidak memotong parabola.

Pertidaksamaan Kuadrat

Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat:

• ax² + bx + c > 0
• ax² + bx + c ≥ 0
• ax² + bx + c < 0
• ax² + bx + c ≤ 0

Untuk mencari penyelesaian pertidaksamaan kuadrat, pertama-tama jadikan dulu persamaan kuadrat biasa untuk menemukan akar-akarnya. Lalu, uji titik yang berada disamping kiri akar terkecil, disamping kanan akar terbesar, dan diantara kedua akar tersebut. Masukkan x kedalam pertidaksamaan, jika pertidaksamaan benar maka x termasuk ke dalam himpunan penyelesaian, dan sebaliknya.
Cara lain, setelah menemukan akar-akarnya, yaitu dengan melihat nilai a dari pertidaksamaan/persamaan: (Akan dimisalkan p dan q sebagai akar-akarnya, dan p lebih besar dari q)

Pertidaksamaan	Himpunan Penyelesaian
ax2 + bx + c > 0 -ax2 + bx + c < 0	HP = { x < q dan x > p }
ax2 + bx + c ≥ 0 -ax2 + bx + c ≤ 0	HP = { x ≤ q dan x ≥ p }
ax2 + bx + c < 0 -ax2 + bx + c > 0	HP = { q < x < p }
ax2 + bx + c ≤ 0 -ax2 + bx + c ≥ 0	HP = { q ≤ x ≤ p }

Contoh Soal

Soal 1: UN 2018 Diketahui grafik fungsi kuadrat seperti pada gambar. Koordinat titik potong grafik dengan sumbu X adalah ...

1. (-1,0) dan (-8,0)
2. (-1,0) dan (8,0)
3. (1,0) dan (-8,0)
4. (1,0) dan (8,0)
5. (2,0) dan (5,0)

Pada soal diketahui titik puncak kurva, yaitu $\left ( \frac{9}{2},-\frac{49}{4} \right )$. Substitusi ke Persamaan 14, maka:
$\begin{align*} y&=a\left (x-\frac{9}{2} \right)^{2}-\frac{49}{4}\\ 8&=a \left (-\frac{9}{2} \right)^{2}-\frac{49}{4}\\ &= \frac{81}{4}a-\frac{49}{4}\\ 32&=81a-49\\ a&=1 \end{align*}$

Dengan didapatnya nilai a, maka persamaan fungsi menjadi:
$y=(x-\frac{9}{2})^{2}-\frac{49}{4}$.

Memotong sumbu X, berarti y nya 0. Maka:
$\begin{align*} 0&= \left (x-\frac{9}{2} \right)^{2}-\frac{49}{4}\\ \frac{49}{4}&=\left (x-\frac{9}{2} \right)^{2}\\ \pm \frac{7}{2}&= \left (x-\frac{9}{2} \right) \end{align*}$

Untuk x₁,
$\begin{align*}\frac{7}{2}&=\left (x-\frac{9}{2} \right)\\ x&=8 \end{align*}$

Untuk x₂,
$\begin{align*}-\frac{7}{2}&=\left (x-\frac{9}{2} \right)\\ x&=1 \end{align*}$

Jadi, fungsi pada grafik akan memotong sumbu X di titik ( 1 , 0 ) dan ( 8 , 0 ).

Soal 2: UN 2017
Persamaan kuadrat x² + kx - (2k+4) = 0 mempunyai akar akar α dan β. Jika α² + β² = 53, nilai k yang memenuhi adalah ...

1. k = -15 atau k = 3
2. k = -9 atau k = -5
3. k = 5 atau k = 5
4. k = -9 atau k = 5
5. k = 9 atau k = -5

Bentuk α² + β² bisa dijadikan:
${\alpha }^{2}+{\beta }^{2}=(\alpha+\beta )^{2}-2(\alpha.\beta)$

Nilai α + β bisa dicari dengan $-\frac{b}{a}$ dan nilai α.β bisa dicari dengan $\frac{c}{a}$. Jika hasil keduanya dimasukkan ke dalam perhitungan:
$\begin{align*}53&=(-k)^{2}-2(-(2k+4))\\ 0&=k^{2}+4k+8-53 \\ &=k^{2}+4k-45\\ &=(k+9)(k-5)\\ &k=-9 \text{ atau } k=5 \end{align*}$

Soal 3: UN 2018
Akar-akar persamaan kuadrat x² + 2x - 1=0 adalah x₁ dan x₂. Persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar $\frac{x_{1}+2}{2}$ dan $\frac{x_{2}+2}{2}$ adalah ax² + bx + c = 0. Nilai dari 2a + b + c adalah ...

Dari soal, diketahui hubungan antara akar-akar baru dan akar-akar lama. Untuk perhitungan seterusnya, akan digunakan tanda x' sebagai akar baru. Maka:
$\begin{align*} x^{'} &= \frac{x+2}{2}\\ 2x^{'} &= x+2\\ x&= 2x^{'}-2\\ \end{align*}$
Substitusi variabel x ke dalam persamaan kuadrat mula-mula:
$\begin{align*} 0&=x^{2}+2x-1 \\ &=(2x^{'}-2)^{2}+2(2x^{'}-2)-1\\ &=4x^{'2}-8x^{'}+4+4x^{'}-4-1\\ &=4x^{'2}-4x^{'}-1\\ \end{align*}$
Dengan demikian, persamaan kuadrat baru nya adalah 4x² - 4x - 1. Nilai dari 2a + b + c, berarti 2(4) - 4 - 1, adalah 3.

Soal 4: UN 2018
Batasan nilai m dari persamaan kuadrat
x² + (2m-1)x + m² - 3m + 5=0 agar mempunyai akar-akar real adalah ...
$\begin{matrix} \text{A. }&m\geq -\frac{5}{2}\\ \text{B. }&m\geq -\frac{17}{8}\\ \text{C. }&m\geq \frac{19}{8}\\ \text{D. }&m\geq \frac{19}{5}\\ \text{E. }&m\geq \frac{21}{4} \end{matrix}$

Akar-akar real, berarti D ≥ 0. Maka:

$\begin{align*} D &\geq 0\\ b^{2}-4ac &\geq 0\\ (2m-1)^{2}-4(1)(m^{2}-3m+5)&\geq0 \\ (4m^2-4m+1)-4m^{2}+12m-20 &\geq0 \\ 8m-19&\geq0\\ m&\geq\frac{19}{8} \end{align*}$