Ruang Dimensi Tiga

Ruang Dimensi Tiga:

1. Kedudukan Titik, Garis dan Bidang
2. Bangun Ruang
3. Proyeksi
4. Kubus

Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang dalam Ruang Dimensi Tiga

Kedudukan titik dengan titik:

Berimpit: Titik p berimpit dengan titik q.	Tidak Berimpit: Titik p tidak berimpit dengan titik q.

Kedudukan titik dengan garis:

Terletak: Titik p terletak pada garis l.	Tidak Terletak: Titik p tidak terletak pada garis l.

Kedudukan titik dengan bidang:

Terletak: Titik p terletak pada bidang f.	Tidak Terletak: Titik p tidak terletak pada bidang f.

Kedudukan garis dengan garis:

Berimpit: Garis l berimpit dengan garis m.	Berpotongan: Garis l berpotongan dengan garis m.
Sejajar: Garis l sejajar dengan garis m.	Bersilangan: Garis l bersilangan dengan garis m.

Kedudukan garis dengan bidang:

Terletak: Garis l terletak pada bidang f.	Sejajar: Garis l sejajar dengan bidang f.
Menembus: Garis l menembus bidang f.

Kedudukan bidang dengan bidang:

Berimpit: Bidang f berimpit dengan bidang g.	Sejajar: Bidang f sejajar dengan bidang g.
Berpotongan: Bidang f berpotongan dengan bidang g.

Bangun Ruang

Kubus

Pada kubus, terdapat:

• 8 titik sudut: A, B, C, D, E, F, G dan H.
• 12 rusuk: AB, BC, CD, AD, AE, BF, CD, DH, EF, FG, GH, EH.
• 6 sisi: Alas: ABCD, Tegak: ABFE, BCGF, CDHG, ADHE, Tutup: EFGH.
• 12 diagonal bidang: AC, BD, AF, BE, EG, FH, CH, DG, CF, BG, AH, DE.
• 6 bidang diagonal: ACGE, BDHF, EFCD, ABGH, BCHE, ADGF.
• 4 diagonal ruang: AG, EC, BH, DF.

Untuk kubus diatas:

• Bidang frontal: merupakan bidang yang sejajar dengan bidang gambar, seperti ABFE dan DCGH.
• Bidang ortogonal: merupakan bidang yang tegak lurus dengan bidang frontal, seperti ADHE, BCGF, ABCD, EFGH.
• Garis frontal: merupakan garis yang sejajar dengan bidang gambar, seperti AB, BF, FE, AE, DC, CG, GH, dan HD.
• Garis ortogonal: merupakan garis yang tegak lurus dengan bidang frontal, seperti AD, BC, FG dan EH.
• Sudut surut: merupakan sudut yang antara garis frontal dan ortogonal; terlukis pada gambar dan bukan sudut yang sebenarnya. Misalnya sudut ABC pada gambar sebenarnya adalah 90° meskipun tidak tergambar demikian.
• Perbandingan proyeksi: merupakan perbandingan antara panjang ortogonal dengan panjang sebenarnya.

Pada kubus dengan panjang rusuk s, berlaku:

$\begin{align*} \text{1. }&V= s^3 \\ \text{2. }&L= 6s^2\\ \end{align*}$

Balok
Pada balok dengan panjang, lebar dan tinggi berturut-turut: p, l, t berlaku:

$\begin{align*} \text{3. }&V= p\times l\times t \\ \text{4. }&L= 2(p\times l)+2(p\times t)+2(l\times t)\\ \end{align*}$

Prisma
Untuk semua prisma (termasuk tabung), jika diketahui luas alas dan tinggi, maka:

$\begin{align*} \text{5. }&V= \text{Luas Alas}\times t \\ \text{6. }&L= (2\times\text{Luas Alas})+( \text{Keliling Alas}\times t) \\ \end{align*}$

Limas
Untuk semua limas (termasuk kerucut), jika diketahui luas alas dan tinggi, maka:

$\begin{align*} \text{5. }&V= \frac{1}{3}\times \text{Luas Alas}\times t \\ \text{6. }&L= \text{Luas Alas}+\text{Luas Seluruh Sisi Tegak} \\ \end{align*}$

Bola
Untuk bola dengan jari-jari r, berlaku:

$\begin{align*} \text{7. }&V= \frac{4}{3}\pi r^3\\ \text{8. }&L= 4\pi r^2 \\ \end{align*}$

Proyeksi

Proyeksi titik terhadap:

Garis: titik p' adalah proyeksi titik p terhadap garis l.	Bidang: titik p' adalah proyeksi titik p terhadap bidang f.

Proyeksi garis terhadap:

Garis: titik p'q' adalah proyeksi garis pq terhadap garis l.	Bidang: titik p'q' adalah proyeksi garis pq terhadap bidang f.

Proyeksi bidang terhadap bidang: bidang a'b'c' adalah proyeksi bidang abc terhadap bidang f.

Kubus

Untuk kubus ABCDEFGH dengan rusuk s, dengan p dan q di tengah tengah bidang yang ditempati dan r dan s di tengah tengah garis yang ditempati, maka:

$\begin{align*} \text{9. }&\text{Diagonal Bidang}=s \sqrt{2} \\ \text{10. }&\text{Diagonal Ruang}=s \sqrt{3} \\ \text{11. }&\text{Garis Ap}=\frac{\text{Diagonal Bidang}}{2}\\ \text{12. }&\text{Garis As}=\frac{s}{2} \sqrt{5} \\ \text{13. }&\text{Garis Aq}=\frac{s}{2} \sqrt{6} \\ \text{14. }&\text{Garis Ar}=\frac{3}{2} s\ \end{align*}$

Contoh Soal

Soal 1: UN 2018
Diketahui kubus ABCD.EFGH besar sudut antara DG dan AE adalah ...

1. 0°
2. 30°
3. 45°
4. 60°
5. 90°

Kubus ABCD.EFGH yang dimaksud:

Proyeksi garis AE terhadap bidang DCGH adalah DH. Selanjutnya, lihat garis DH dan DG. Sudut yang terbentuk diantara keduanya adalah 45°. Maka, sudut yang terbentuk antara DG dan AE adalah 45°.

Soal 2: UNBK 2018
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. Jika sudut antara garis AC dan BG adalah α, nilai dari tan α = ...
$\begin{align*} \text{A. }&0\\ \text{B. }&\frac{1}{2}\\ \text{C. }&\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ \text{D. }&\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ \text{E. }&\sqrt{3}\\ \end{align*}$

Kubus ABCD.EFGH yang dimaksud:

Proyeksi garis BG terhadap bidang ADHE adalah AH. Selanjutnya, lihat garis AH, garis AC dan garis CH. Ketiga garis ini membentuk segitiga sama sisi. Maka, sudut yang terbentuk adalah sudut 60°. Nilai tangen dari 60° terdapat pada pilihan E.

Soal 3: UN 2018
Kamar suatu ruangan mempunyai ukuran 5m x 3m x 4m. Di tengah pertemuan dua dinding dipasang lampu. Jarak terjauh antara lampu dan pojok ruangan adalah ...
$\begin{align*} \text{A. }&2\text{ m}\\ \text{B. }&5\text{ m}\\ \text{C. }&10\text{ m}\\ \text{D. }&\sqrt{38}\text{ m}\\ \text{E. }&\sqrt{50}\text{ m}\\ \end{align*}$

Gambar ruang yang dimaksud:

Pojok ruangan yang mungkin adalah delapan titik sudut kubus, maka dipilih yang ada di seberang tengah rusuk tegak. Dapat dilihat segitiga siku-siku yang terbentuk. Maka, dapat dihitung:
$\begin{align*} \text{BD}^2&=\text{AD}^2+\text{AB}^2 \\ &=3^2+5^2 \\ &=34\\ \text{DT}&=\sqrt{\text{BD}^2+\text{DT}^2} \\ &=\sqrt{34+2^2} \\ &= \sqrt{38} \\ \end{align*}$

Soal 4: UN 2017
Diketauhi limas beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk tegak $6 \sqrt{2}$ dan panjang rusuk alas 6 cm. Jarak titik A ke TC adalah ...
$\begin{align*} \text{A. }&2 \sqrt{2}\text{ cm}\\ \text{B. }&2 \sqrt{3}\text{ cm}\\ \text{C. }&3 \sqrt{2}\text{ cm}\\ \text{D. }&3 \sqrt{3}\text{ cm}\\ \text{E. }&3 \sqrt{6}\text{ cm}\\ \end{align*}$

Berikut gambar limas yang dimaksud. Dapat dilihat segitiga sama sisi ACT, karena semua sisi nya memiliki panjang yang sama (AT=AC=CT, CT juga $6 \sqrt{2}$. Dari rumus phytagoras, CT sama dengan $\sqrt{72}$):

Jarak titik A ke TC adalah tinggi dari segitiga sama sisi ini. Melalui rumus phytagoras, pada salah satu dari dua segitiga siku-siku yang membentuk segitiga sama sisi, dapat dihitung:
$\begin{align*} \text{A ke TC}&=\sqrt{({6 \sqrt{2})}^2-({3 \sqrt{2})}^2} \\ &=\sqrt{72-18} \\ &=\sqrt{54}=\sqrt{9\times 6} \\ &=3\sqrt{6} \\ \end{align*}$