Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

Daftar sub-bab:

1. Sistem Persamaan Linear
2. Sistem Persamaan Kuadrat
3. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Sistem Persamaan Linear

Bentuk umum Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV):
$\begin{cases} ax+by=c\\ px+qy=r\\ \end{cases}$

Bentuk umum Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV):
$\begin{cases} ax+by+cz=d\\ px+qy+rz=s\\ jx+ky+lz=m\\ \end{cases}$

Untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linear, bisa dengan metode penyelesaian;

• Metode grafik
• Metode substitusi
• Metode eliminasi
• Gabungan metode substitusi dan eliminasi

Sistem Persamaan Kuadrat

Bentuk umumnya adalah:
$\begin{cases} &y_{1}=ax^{2}+bx+c \\ &y_{2}=px^{2}+qx+r \end{cases}$

Untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Kuadrat, samakan kedua fungsi y₁=y₂. Lalu, akan didapat persamaan kuadrat baru yang penyelesaiannya merupakan titik potong kedua kurva. Berdasarkan nilai diskriminan persamaan barunya, hubungan kedua kurva:

D > 0	D = 0	D < 0
Dua kurva berpotongan di dua titik.	Dua kurva bersinggungan di satu titik.	Kurva tidak saling memotong atau bersinggungan.

Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Bentuk umumnya adalah:
$\begin{cases} ax+by<c\\ ax+by>c\\ ax+by\leq c\\ ax+by\geq c\\ \end{cases}$

Untuk menyelesaikan Pertidaksamaan Linear Dua Variabel, uji titik, yaitu memasukan nilai x dan y ke dalam pertidaksamaan. Apabila pertidaksamaan benar, maka titik yang diuji termasuk ke dalam himpunan penyelesaiannya, dan sebaliknya. Metode grafik juga dapat digunakan untuk mencari penyelesaian:

Contoh Soal

Soal 1: UN 2018
Perhatikan diagram berikut!

Sistem pertidaksamaan linear yang sesuai dengan daerah penyelesaian diarsir adalah ...

$\begin{align*} \text{A. }&3x+5y\leq 15,4x+7y\geq 28,x\geq 0,y\geq 0\\ \text{B. }&3x+5y\geq 15,4x+7y\leq 28,x\geq 0,y\geq 0\\ \text{C. }&5x+3y\geq 15,4x+7y\geq 28,x\geq 0,y\geq 0\\ \text{D. }&5x+3y\leq 15,4x+7y\leq 28,x\geq 0,y\geq 0\\ \text{E. }&5x+3y\leq 15,4x+7y\geq 28,x\geq 0,y\geq 0\\ \end{align*}$

Dari gambar, dapat dilihat ada dua fungsi. Kedua fungsi tersebut adalah:
$\begin{cases} &5x+3y=15\\ &4x+7y=28 \end{cases}$

Dari gambar, sudah terlihat bahwa daerah x=0, y=4 sampai y=5 merupakan daerah penyelesaiannya. Maka, akan diuji titik tersebut:
$\begin{align*} 5x+3y&\text{ ? }15 \\ 5(0)+3(4)&\text{ ? }15\\ 12&<15 \\ \\ 5x+3y&\text{ ? }15 \\ 5(0)+3(5)&\text{ ? }15\\ 15&=15 \end{align*}$

Lalu, lanjut ke fungsi kedua:
$\begin{align*} 4x+7y&\text{ ? } 28 \\ 4(0)+7(4)&\text{ ? }28\\ 28&=28 \\ \\4x+7y&\text{ ? }28 \\ 4(0)+7(5)&\text{ ? }28\\ 35&>28 \end{align*}$


Titik yang diuji termasuk ke daerah penyelesaian fungsi. Maka, sistem pertidaksamaan yang tepat adalah: $5x+3y\leq 15,4x+7y\geq 28,x\geq 0,y\geq 0$

Soal 2: UN 2017
Hadi, Yuda, dan Toni menabung di bank. Jumlah uang tabungan Yuda dan dua kali uang tabungan Toni, Rp150.000,00 lebih banyak dari uang tabungan Hadi. Jumlah uang tabungan Hadi dan Toni adalah Rp1.450.000,00. Jumlah uang tabungan mereka bertiga Rp2.000.000,00. Jumlah uang Yuda dan Toni adalah ...

1. Rp1.650.000,00
2. Rp1.450.000,00
3. Rp1.200.000,00
4. Rp900.000,00
5. Rp750.000,00

Bila dibuat sistem persamaan linear, maka sistem persamaan linearnya adalah: (Untuk mempermudah, hitungannya akan dalam ribuan; 100.000 menjadi 100, dsb)
$\begin{cases} H+150&=Y+2T \\ H+T&=1.450 \\ H+T+Y&=2.000 \end{cases}$

Dari persamaan kedua dan ketiga, dapat diketahui langsung bahwa tabungan Yuda bernilai Rp550.000,00. Sekarang, akan dicari tabungan Toni:

$\begin{align*} H&=1450-T \text{ dan }H=Y+2T-150\\ 1450-T&=Y+2T-150\\ 1600-Y&=3T\\ 1050&=3T\\ T&=350 \end{align*}$

Maka, tabungan Toni dan Yuda digabung akan bernilai Rp900.000,00.