Barisan dan Deret

Barisan dan Deret:

1. Barisan dan Deret Aritmatika dan Geometri
2. Deret Geometri Tak Hingga

Deret Aritmatika dan Geometri

Bandingkan deret aritmatika dan geometri:

	Deret Aritmatika	Deret Geometri
Suku ke-n	$\begin{align*} \text{1. }U_{n}&=a+(n-1)b \\ U_{n}&=S_{n}-S_{n-1} \end{align*}$	$\begin{align*} \text{5. }U_{n}&=a.r^{n-1} \\ \end{align*}$
Jumlah n suku pertama	$\text{2. }S_{n}=\frac{n}{2}(a+U_{n})$	$\begin{align*} \text{6. }S_{n}&=\frac{a(1-r^n)}{1-r}\text{, }r< 1 \\ S_{n}&=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\text{, }r>1 \\ \end{align*}$
Suku tengah	$\text{3. }U_{t}=\frac{1}{2}(a+U_{n})$	$\begin{align*} \text{7. }U_{t}=\sqrt{a.U_{n}} \end{align*}$
BedaAritmatika RasioGeometri	$\text{4. }b=U_{n}-U_{n-1}$	$\text{8. }r=\frac{U_{n}}{U_{n-1}}$

Deret Geometri Tak Hingga

Untuk deret geometri konvergen yang rasionya -1 < r < 1, limit jumlahnya:

$\begin{align*} \text{9. }S_{\infty }=\frac{a}{1-r} \end{align*}$

Untuk suatu benda yang dilempar dari ketinggian h, dan memantul menjadi $\frac{p}{q}$ dari tinggi semula, maka panjang lintasan hingga bola/benda tersebut berhenti adalah:

$\begin{align*} \text{10. }S_{\infty }=h\left ( \frac{q+p}{q-p} \right ) \end{align*}$

Contoh Soal

Soal 1: UN 2017
Suku kedua dan kelima suatu barisan geometri adalah 3 dan 81. Jumlah n suku pertama barisan tersebut adalah ...

1. 3ⁿ⁺¹ - 3
2. 3ⁿ⁺¹ - 1
3. 2.3ⁿ - 1
4. ½(3ⁿ - 1)
5. ⅓(3ⁿ - 1)

Diketahui bahwa:
U₂ , atau ar = 3.
U₅ , atau ar⁴ = 81.

Dibentuk perbandingan:
$\begin{align*} \frac{U_{5}}{U_{2}}&=\frac{ar^4}{ar}\\ \frac{81}{3}&=r^{3}\\ r^{3}&=27\\ r&=3 \end{align*}$

Substitusi r ke U₂, maka akan didapat suku pertama atau a adalah 1. Substitusikan semuanya ke persamaan jumlah suku ke-n deret geometri:
$\begin{align*} S_{n} &=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1} \\ &=\frac{(3^{n}-1)}{2}\\ &=\frac{1}{2}(3^{n}-1) \end{align*}$

Soal 2: UN 2018
Diketahui U_n menyatakan suku ke-n suatu barisan geometri yang suku-sukunya positif. Jika $U_{7}-U_{3}=24\sqrt{2}$  dan $U_{5}=3\sqrt{3}.U_{2}$, suku ke-6 barisan tersebut adalah ...
$\begin{align*}&\text{A. }\sqrt{2}\\ &\text{B. }\sqrt{6}\\ &\text{C. }3\sqrt{6}\\ &\text{D. }9\sqrt{2}\\ &\text{E. }9\sqrt{6} \end{align*}$

$\begin{align*} U_{5}&=3\sqrt{3}.U_{2}\\ a.r^{4}&=a.r.3\sqrt{3}\\ r^{3}&=3\sqrt{3}\\ r&=\sqrt{3}\\ \end{align*}$

$\begin{align*} U_{7}-U_{3}&=24\sqrt{2}\\ a.r^{6}-a.r^{2}&=24\sqrt{2}\\ a(r^{6}-r^{2})&=24\sqrt{2}\\ a(27-3)&=24\sqrt{2}\\ a&=\sqrt{2} \end{align*}$

$\begin{align*} U_{6}&=a.r^5\\ &=\sqrt{2}.(\sqrt{3})^5\\ &=\sqrt{2}.(9\sqrt{3})\\ &=9\sqrt{6} \end{align*}$

Soal 3: UN 2016
Aturan main:

Dalam kotak tersedia 10 bendera dan harus dipindahkan kedalam botol yang tersedia satu demi satu (tidak sekaligus). Semua peserta lomba mulai bergerak (start) dari botol no. 10 untuk mengambil bendera dalam kotak. Jarak tempuh yang dilalui peserta lomba adalah ...

1. 164 meter
2. 880 meter
3. 920 meter
4. 1000 meter
5. 1840 meter

Pemain akan menempuh yang jarak sama (bolak-balik dari botol ke kotak), sehingga secara keseluruhan pemain akan 10 kali bolak-balik, atau 20 kali perjalanan. Untuk mencari jarak total, maka:
$\begin{align*} S &=20.10+2\left ( \frac{9}{2}(8+72) \right )\\ &=200+9(80)\\ &=200+720\\ &=920 \end{align*}$

Soal 4: UN 2016
Suatu unsur radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 30 menit. Jika pada mulanya massa unsur tersebut 20 gram, massa unsur yang meluruh selama 2 jam adalah ...

1. 1,25 gram
2. 2,50 gram
3. 10,00 gram
4. 17,50 gram
5. 18,75 gram

Tabel:

0	30 menit	60 menit	90 menit	120 menit
20 gram	10 gram	5 gram	2,5 gram	1,25 gram

Massa unsur yang meluruh adalah 18,75 gram.

Soal 5: UNBK 2018
Seorang peneliti melakukan pengamatan terhadap bakteri tertentu. Setiap hari bakteri membelah diri menjadi dua. Pada awal pengamatan terdapat 8 bakteri. Setiap 3 hari, ¼ dari jumlah bakteri mati. Banyak bakteri setelah satu minggu adalah ...

1. 144
2. 192
3. 288
4. 384
5. 576

Tabel:

Bakteri	Hari 1	Hari 2	Hari 3	Hari 4	Hari 5	Hari 6	Hari 7
Bakteri	8	16	32	48	96	192	288
Bakteri Mati	-	-	8	-	-	48	-
Bakteri Hidup	8	16	24	48	96	144	288

Jumlah bakteri yang bertahan hidup adalah 288.