Trigonometri

Trigonometri:

1. Perbandingan Trigonometri
2. Fungsi Trigonometri
3. Segitiga
4. Identitas Trigonometri

Perbandingan Trigonometri

Pada segitiga siku-siku di atas, berlaku:

$\begin{matrix} \text{1. }\sin{\color{DarkGreen}\theta}=\frac{{\color{Red} y}}{{\color{Blue} h}}&\text{4. }\csc{\color{DarkGreen}\theta}=\frac{{\color{Blue} h}}{{\color{Red} y}}\\ \text{2. }\cos{\color{DarkGreen}\theta}=\frac{{\color{Purple} x}}{{\color{Blue} h}}&\text{5. }\sec{\color{DarkGreen}\theta}=\frac{{\color{Blue} h}}{{\color{Purple} x}}\\ \text{3. }\tan{\color{DarkGreen}\theta}=\frac{{\color{Red} y}}{{\color{Purple} x}}&\text{6. }\cot{\color{DarkGreen}\theta}=\frac{{\color{Purple} x}}{{\color{Red} y}}\\ \end{matrix}$

Maka, dapat disimpulkan bahwa:

$\begin{align*} \text{7. }\sin\theta&=\frac{1}{\csc\theta}\\ \text{8. }\cos\theta&=\frac{1}{\sec\theta}\\ \text{9. }\tan\theta&=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{1}{\cot\theta}\\ \end{align*}$

Nilai sudut istimewa:

Fungsi	0°	30°	45°	60°	90°
Sinus	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}\sqrt{2}$	$\frac{1}{2}\sqrt{3}$	$1$
Cosinus	$1$	$\frac{1}{2}\sqrt{3}$	$\frac{1}{2}\sqrt{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
Tangen	$0$	$\frac{1}{3}\sqrt{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$\infty$

Sudut berelasi di keempat kuadran:

1	$\begin{align*} &\text{10. }\sin{(90^{\circ}-\theta)}=\cos{\theta}\\ &\text{11. }\cos{(90^{\circ}-\theta)}=\sin\theta\\ &\text{12. }\tan{(90^{\circ}-\theta)}=\cot{\theta} \end{align*}$
2	$\begin{align*} &\text{13. }\sin{(180^{\circ}-\theta)}=\sin{\theta}\\ &\text{14. }\cos{(180^{\circ}-\theta)}=-\cos\theta\\ &\text{15. }\tan{(180^{\circ}-\theta)}=-\tan{\theta}\\ &\text{16. }\sin{(90^{\circ}+\theta)}=\cos{\theta}\\ &\text{17. }\cos{(90^{\circ}+\theta)}=-\sin\theta\\ &\text{18. }\tan{(90^{\circ}+\theta)}=-\cot{\theta}\end{align*}$
3	$\begin{align*} &\text{19. }\sin{(270^{\circ}-\theta)}=-\cos{\theta}\\ &\text{20. }\cos{(270^{\circ}-\theta)}=-\sin\theta\\ &\text{21. }\tan{(270^{\circ}-\theta)}=\cot{\theta}\\ &\text{22. }\sin{(180^{\circ}+\theta)}=-{\sin\theta}\\ &\text{23. }\cos{(180^{\circ}+\theta)}=-\cos{\theta}\\ &\text{24. }\tan{(180^{\circ}+\theta)}=\tan{\theta}\end{align*}$
4	$\begin{align*} &\text{25. }\sin{(360^{\circ}-\theta)}=\sin{(-\theta)}=-\sin{\theta}\\ &\text{26. }\cos{(360^{\circ}-\theta)}=\cos{(-\theta)}=\cos\theta\\ &\text{27. }\tan{(360^{\circ}-\theta)}=\tan{(-\theta)}=-\tan{\theta}\\\end{align*}$

Fungsi Trigonometri

(180° = π)

Grafik sinus:

Grafik cosinus:

Segitiga

Pada segitiga ABC seperti gambar:

Berlaku aturan sinus;

$\text{28. }\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}$

aturan cosinus;

$\begin{align*} \text{29. }&a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}\\ \text{30. }&b^2=a^2+c^2-2ac\cos{B}\\ \text{31. }&c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}\\ \end{align*}$

aturan tangen;

$\text{32. } \begin{align*} \frac{a+b}{a-b}=\frac{tan{\frac{1}{2}(A+B)}}{tan{\frac{1}{2}(A-B)}} \end{align*}$

dan rumus-rumus luas berikut:

$\begin{align*} &\text{33. }L=\frac{1}{2}.a.b.\sin{C}\\ &\text{34. }L=\frac{a^{2}.\sin{B}.\sin{C}}{2.\sin(B+C)}\\ &\text{35. }L=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\text{ dengan }s=\frac{1}{2}(a+b+c)\\ \end{align*}$

Identitas Trigonometri

$\begin{align*} &\text{36. }\sin^{2}{\theta}+cos^{2}{\theta}=1\\ &\text{37. }1+\tan^{2}{\theta}=\sec^{2}{\theta}\\ &\text{38. }1+\cot^{2}{\theta}=\csc^{2}{\theta}\\ \end{align*}$

Penjumlahan dan pengurangan sudut:

$\begin{align*} &\text{39. }\sin{(A\pm B)}=\sin{A}\cos{B}\pm\cos{A}\sin{B}\\ &\text{40. }\cos{(A\pm B)}=\cos{A}\cos{B}\mp \sin{A}\sin{B}\\ &\text{41. }\tan{(A\pm B)}=\frac{\tan{A}\pm\tan{B}}{1\mp\tan{A}\tan{B}}\\ \end{align*}$

Sudut rangkap:

$\begin{align*} \text{42. }\sin{2A}&=2\sin{A}\cos{A}\\ \text{43. }\cos{2A}&=\cos^2{A}-\sin^2{A}\\ &=1-2\sin^2{A}\\ &=2\cos^2{A}-1\\ \text{44. }\tan{2A}&=\frac{2\tan{A}}{1-\tan^2{A}} \end{align*}$

Penjumlahan dan pengurangan sinus/cosinus:

$\begin{align*} &\text{45. }\cos{A}+\cos{B}=2\cos{\left ( \frac{A+B}{2} \right )}\cos{\left ( \frac{A-B}{2} \right )}\\ &\text{46. }\cos{A}-\cos{B}=-2\sin{\left ( \frac{A+B}{2} \right )}\sin{\left ( \frac{A-B}{2} \right )} \\ &\text{47. }\sin{A}+\sin{B}=2\sin{\left ( \frac{A+B}{2} \right )}\cos{\left ( \frac{A-B}{2} \right )}\\ &\text{48. }\sin{A}-\sin{B}=2\cos{\left ( \frac{A+B}{2} \right )}\sin{\left ( \frac{A-B}{2} \right )} \end{align*}$

Perkalian sinus/cosinus:

$\begin{align*} &\text{49. }2\cos{A}\cos{B}=\cos{(A+B)}+\cos{(A-B)}\\ &\text{50. }2\sin{A}\sin{B}=-\left \{ \cos{(A+B)}-\cos{(A-B)} \right \} \\ &\text{51. }2\sin{A}\cos{B}=\sin{(A+B)}+\sin{(A-B)}\\ &\text{52. }2\cos{A}\sin{B}=\sin{(A+B)}-\sin{(A-B)}\\ \end{align*}$

Contoh Soal

Soal 1: UN 2017
Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B dengan jurusan tiga angka 080° sejauh 60 km. Kemudian berlayar menuju ke pelabuhan C dengan jurusan 200° sejauh 80 km. Jarak antara pelabuhan C dan A adalah ...

$\begin{align*} &\text{A. }10\text{ km}\\ &\text{B. }5\sqrt{13}\text{ km}\\ &\text{C. }10\sqrt{13}\text{ km}\\ &\text{D. }20\sqrt{13}\text{ km}\\ &\text{E. }100\text{ km}\\ \end{align*}$

Diagram pelayaran kapal:


Dengan melihat diagram, dapat disimpulkan bahwa sudut ac adalah 60°. Berarti, nilai cosinus sudut ac adalah setengah. Jadi, panjang ac:

$\begin{align*} AC^{2}&=AB^{2}+BC^{2}-2.AB.BC(\cos{ac}) \\ &=60^{2}+80^{2}-2.60.80(\frac{1}{2}) \\ &=3600+6400-4800\\ &=5200\\ AC&=\sqrt{5200}\\ &=\sqrt{400\times 13}\\ &=20\sqrt{13} \end{align*}$

Soal 2: UN 2017
Diketahui $\sin\alpha \cos\beta=\frac{1}{3}$ dan $(\alpha+\beta)=\frac{5\pi}{6}$. Nilai sin (α - β) = ...
$\begin{align*} &\text{A. }-\frac{5}{6}\\ &\text{B. }-\frac{1}{2}\\ &\text{C. }-\frac{1}{6}\\ &\text{D. }\frac{1}{6}\\ &\text{E. }\frac{1}{2} \end{align*}$

Mula-mula, rumus penjumlahan sudut sinus untuk mendapatkan nilai cos α dan sin β:

$\begin{align*} \sin{(\alpha+\beta)}&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta \\ \sin{\left (\frac{5}{6}\pi \right)}&=\frac{1}{3}+\cos\alpha\sin\beta \\ \sin{150^{\circ}}&=\frac{1}{3} +\cos\alpha\sin\beta \\ \end{align*}$

Sudut berelasi Kuadran II, maka sin 150° = sin 30°:

$\begin{align*} \sin{30^{\circ}}&=\frac{1}{3} +\cos\alpha\sin\beta \\ \frac{1}{2}&=\frac{1}{3} +\cos\alpha\sin\beta \\ \cos\alpha\sin\beta&=\frac{1}{2}-\frac{1}{3} \\ &=\frac{1}{6} \end{align*}$

Sehingga didapat nilai cos α dan sin β yang bisa disubstitusikan ke dalam rumus pengurangan sudut sinus:

$\begin{align*} \sin{(\alpha-\beta)}&=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\\ &=\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\\ &=\frac{1}{6}\\ \end{align*}$

Soal 3: UN 2017
Nilai dari $\frac{\sin{40^{\circ}}-\sin{20^{\circ}}}{\cos{40^{\circ}}-\cos{20^{\circ}}}$ adalah ...
$\begin{align*}&\text{A. }-\sqrt{3}\\ &\text{B. }-\frac{1}{3}\sqrt{3}\\ &\text{C. }\frac{1}{3}\sqrt{3}\\ &\text{D. }\sqrt{2}\\ &\text{E. }\sqrt{3}\\ \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{\sin{40^{\circ}}-\sin{20^{\circ}}}{\cos{40^{\circ}}-\cos{20^{\circ}}}&=\frac{2\cos{(\frac{40^\circ+20^\circ}{2})}\sin{(\frac{40^\circ-20^\circ}{2})}}{-2\sin{(\frac{40^\circ+20^\circ}{2})}\sin{(\frac{40^\circ-20^\circ}{2})}} \\ &=-\frac{\cos{(\frac{40^\circ+20^\circ}{2})}}{\sin{(\frac{40^\circ+20^\circ}{2})}} \\ &=-\frac{\cos{30^\circ}}{\sin{30^\circ}}\\ &=-\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{1}{2}}\\ &=-\sqrt3\\ \end{align*}$

Soal 4: UN 2018
Bagus berdiri dengan jarak 80 m dari sebuah menara memandang puncak menara dengan sudut elevasi 30°. Jika jarak mata Bagus dengan tanah adalah 150 cm, tinggi menara tersebut adalah ...
$\begin{align*} &\text{A. }\left ( \frac{80}{3}\sqrt{3}+1,5 \right )\text{m}\\ &\text{B. }\left ( \frac{80}{3}\sqrt{3}-1,5 \right )\text{m}\\ &\text{C. }\left ( 80\sqrt{3}-1,5 \right )\text{m}\\ &\text{D. }\left ( 80\sqrt{3}+1,5 \right )\text{m}\\ &\text{E. }\left ( \frac{81,5}{3}\sqrt{3} \right )\text{m}\\ \end{align*}$

Nilai tangen adalah depan dibagi samping, maka:
$\begin{align*} \tan{30^\circ}&=\frac{x}{80}\\ \frac{\sqrt{3}}{3}&=\frac{x}{80}\\ x&=\frac{80\sqrt{3}}{3} \end{align*}$

Nilai x yang didapat hanyalah tinggi gedung dikurangi jarak mata ke tanah. Maka, tinggi gedung adalah x ditambah jarak mata ke tanah:

$\begin{align*} \text{Tinggi gedung }&=(x+1,5)\text{ m}\\ &= \left ( \frac{80\sqrt{3}}{3}+1,5 \right )\text{m} \end{align*}$

Soal 5: UN 2018
Nilai x yang memenuhi saat fungsi f(x) = 2 sin (3x) - 1 memotong sumbu x pada interval 270° ≤ x ≤ 360° adalah ...°

Memotong sumbu x, berarti y=f(x)=0. Maka:
$\begin{align*} 0&=2\sin{3x}-1\\ 1&=2\sin{3x}\\ \sin{3x}&=\frac{1}{2} \end{align*}$

Karena diketahui x diantara 270° dan 360°, sudut 3x setidaknya telah melakukan 2 putaran penuh. Ini diketahui dari kemungkinan x terkecil, yaitu 270° dikali 3, didapat 810°. 810° hanya baru 2 putaran penuh dan seperempat putaran (360° = 1 putaran penuh). Maka, ada dua kemungkinan nilai 3x dimana nilai sin 3x adalah setengah, kemungkinan pertama yaitu sudut 30 ditambah 2 putaran penuh atau sudut 150 ditambah 2 putaran penuh:
$\begin{align*} \sin{3x}&=\sin{(30^{\circ}+720^{\circ})}\\ &=\sin{750^{\circ}}\\ x&=250^{\circ} \end{align*}$

Sudut 250° berada di luar interval, sehingga bukan jawaban yang tepat.
$\begin{align*} \sin{3x}&=\sin{(150^{\circ}+720^{\circ})}\\&=\sin{870^{\circ}}\\x&=290^{\circ} \end{align*}$

Sudut 290° berada di interval, dan sin(870°) bernilai setengah. Maka, nilai x yang memenuhi adalah 290°.

Soal 6: UN 2016
Persamaan grafik fungsi trigonometri berikut ini adalah ...

1. y = -cos( 2x + 60° )
2. y = -sin( 2x + 60° )
3. y = cos( 2x + 60° )
4. y = sin( 2x - 60° )
5. y = cos( 2x - 60° )

Untuk pengerjaannya, dapat dimulai dengan menguji titik. Misal:

Fungsi	Sudut	Nilai
-cos( 2x + 60° )	15°	0
-sin( 2x + 60° )	15°	-1
cos( 2x + 60° )	15°	0
sin( 2x - 60° )	15°	-½
cos( 2x - 60° )	15°	½√3

Fungsi yang sesuai dengan grafiknya adalah fungsi kedua, atau fungsi pada pilihan B, yaitu y = -sin( 2x + 60° ).