Peluang

Peluang:

1. Kaidah Pencacahan
2. Peluang Kejadian

Kaidah Pencacahan

Aturan pengisian tempat.

Permutasi:

$\text{1. }P_{k}^{n}=\frac{n!}{(n-k)!}$

Permutasi unsur sama:

$\text{2. }P=\frac{n!}{k!\times l! \times m! \times ...}$

Permutasi siklis:

$\text{3. }P=(n-1)!$

Kombinasi

$\text{4. }C_{k}^{n}=\frac{n!}{(n-k)! \times k!}$

Peluang Kejadian

Kejadian saling lepas: A dan B adalah kejadian yang tidak bisa terjadi bersamaan.

$\text{5. }P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

Kejadian tidak saling lepas: A dan B adalah kejadian yang bisa terjadi bersamaan.

$\text{6. }P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Kejadian saling bebas: A dan B adalah kejadian yang tak saling mempengaruhi.

$\text{7. }P(A\cap B)=P(A) \times P(B)$

Kejadian tidak saling bebas: A mempengaruhi B.

$\text{8. }P(A\cap B)=P(A) \times P(B|A)$

Kejadian tidak saling bebas: B mempengaruhi A.

$\text{9. }P(A\cap B)=P(B) \times P(A|B)$

Contoh Soal

Soal 1: UN 2017
Banyak bilangan genap yang terdiri dari 3 angka berbeda yang dapat disusun dari angka 0, 2, 3, 4, 5, 6 dan 7 adalah ...

1. 210
2. 120
3. 105
4. 90
5. 75

Untuk memudahkan perhitungan, perhitungan akan dibagi menjadi 3:

Kasus Pertama: Angka nol muncul sebagai satuan.
Jika demikian, maka akan ada 30 (5 × 6 × 1 atau 6 × 5 × 1) bilangan yang mungkin (dengan angka yang menempati satuan adalah 0).

Kasus Kedua: Angka nol muncul sebagai puluhan.
Jika demikian, maka akan ada 15 (5 × 1 × 3) bilangan yang mungkin (dengan angka yang menempati puluhan adalah 0).

Kasus Ketiga: Angka nol tidak muncul sama sekali.
Jika demikian, maka akan ada 60 (4 × 5 × 3 atau 5 × 4 × 3) bilangan yang mungkin (tanpa ada angka 0 sama sekali).

Total angka genap yang mungkin disusun adalah 30 + 15 + 60 = 105.

Soal 2: UN 2018
Dari 12 soal yang diberikan , siswa harus mengerjakan 10 soal dengan syarat soal nomor 1, 2, 3, 4, dan 5 harus dikerjakan. Banyak kemungkinan susunan soal yang dipilih adalah ...

1. 12 cara
2. 21 cara
3. 42 cara
4. 66 cara
5. 84 cara

Dari soal, diketahui ada 12 soal dan diantaranya ada 5 soal wajib. Siswa harus mengerjakan 10 soal. Jika mengerjakan 5 soal wajib, akan ada 5 soal yang mungkin dari sisa 7 soal (12 dikurangi 5 soal wajib). Maka, untuk mencari banyak kemungkinannya:
$\begin{align*} C_{5}^{7}&=\frac{7!}{2! \times 5!}=\frac{42}{2} \\ &=21 \end{align*}$

Soal 3: UN 2018
Dari suatu kelompok diskusi yang terdiri atas 5 pria dan 4 wanita, akan dipilih 3 orang secara acak untuk memaparkan hasil diskusinya. Banyak cara untuk memilih 2 pria dan 1 wanita adalah ...

1. 18 cara
2. 21 cara
3. 30 cara
4. 40 cara
5. 80 cara

Dari 5 pria akan dipilih 2, dan dari 4 wanita akan dipilih 1. Banyak kemungkinannya dapat dihitung sebagai berikut:
$\begin{align*} C_{2}^{5} \times C_{1}^{4}&=\frac{5!}{2! \times 3!} \times \frac{4!}{1! \times 3!} \\ &=\frac{20}{2} \times 4\\ &=40\\ \end{align*}$

Soal 4: UN 2018
Dari 36 siswa di sebuah kelas, 20 siswa suka olahraga renang, 15 siswa suka olahraga basket, dan 10 siswa tidak suka kedua-duanya. Bila dipilih seorang siswa secara acak, peluang terpilih siswa yang suka kedua jenis olah raga tersebut adalah ...
$\begin{align*} \text{A. }&\frac{1}{4} \\ \text{B. }&\frac{9}{26} \\ \text{C. }&\frac{5}{18} \\ \text{D. }&\frac{1}{5} \\ \text{E. }&\frac{1}{9} \end{align*}$

Jika dibuat diagramnya:


Diketahui ada 10 orang yang tidak suka renang ataupun basket. Dapat disimpulkan bahwa ada 26 orang yang suka basket, renang atau keduanya. Maka:
$\begin{align*} 36-10&=(20-x)+(15-x)+x \\ 26&=35-x \\ x&=9 \end{align*}$

Jika akan dipilih 1 orang secara acak, kemungkinan terpilih siswa yang suka kedua olahraga adalah:
$\begin{align*} P(\text{Siswa suka kedua jenis olahraga})&=\frac{9}{36} \\ &=\frac{1}{4} \end{align*}$