Matriks

Matriks:

1. Definisi Matriks
2. Operasi Matriks
3. Aplikasi Matriks
4. Transformasi Geometri

Definisi Matriks

Matriks adalah susunan dari bilangan-bilangan yang dibatasi tanda kurung yang berbentuk persegi panjang dan disusun menurut baris dan kolom:

$\text{1. }M=\begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \end{bmatrix}$

Bilangan yang mengisi matriks disebut elemen. Lambang elemen ditulis dengan: a_b,k.
(b = baris, k = kolom)

Matriks yang memiliki b baris dan k kolom ditulis dengan notasi: M_{b × k}

Operasi Matriks

Transpose Matriks
Matriks yang di-transpos, berarti baris matriks diubah menjadi kolom dan kolom diubah menjadi baris matriks.

Misalkan untuk matriks:
$M=\begin{bmatrix} 4 & 2\\ 0 & 5\\ 1 & 3 \end{bmatrix}$
Maka, transpose matriks M tersebut adalah:
$M^{T}=\begin{bmatrix} 4 & 0 & 1\\ 2 & 5 & 3 \end{bmatrix}$

Penjumlahan Matriks
Operasi penjumlahan matriks hanya bisa dilakukan jika kolom dan baris kedua matriks yang ditambahkan sama.

Perkalian Matriks
Operasi perkalian matriks A × B hanya bisa dilakukan jika jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B. Perkalian matriks tidak bersifat komutatif. Sehingga, A × B belum tentu sama dengan B × A.

Misalkan untuk matriks:
$\begin{align*} A&=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ B&= \begin{bmatrix} 3 & 1\\ 0 & 0\\ 5 & 8 \end{bmatrix} \end{align*}$

Operasi A_2x3 × B_3x2 bisa dilakukan, dan akan menghasilkan matriks 2x2. Sebaliknya, operasi B_3x2 × A_2x3 juga bisa dilakukan. Kedua perkalian ini akan menghasilkan matriks yang berbeda.
Bandingkan keduanya:
$\begin{align*} A\times B&=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1\\ 0 & 0\\ 5 & 8 \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} 1(3)+2(0)+3(5) &1(1)+2(0)+3(8) \\ 1(3)+0(0)+1(5)& 1(1)+0(0)+1(8) \end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix} 18 &25 \\ 8& 9 \end{bmatrix} \\ & \\ B\times A&=\begin{bmatrix} 3 & 1\\ 0 & 0\\ 5 & 8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix} 3(1)+1(1) & 3(2)+1(0) & 3(3)+1(1)\\ 0(1)+0(1) & 0(2)+0(0) & 0(3)+0(1)\\ 5(1)+8(1) & 5(2)+8(0) & 5(3)+8(1) \end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix} 4 & 6 & 10\\ 0 & 0 & 0\\ 13 & 10 & 23 \end{bmatrix} \\ \\ \end{align*}$

Selain perkalian biasa, ada perkalian skalar (k adalah konstanta):

$\text{2. }M=k\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$

Determinan Matriks
Determinan matriks:

$\begin{align*} \text{3. }M&=\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}\\ |M|&=ad-bc\\ \text{4. }M&=\begin{bmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{bmatrix}\\ |B|&= (aei+bfg+cdh)-(ceg+afh+bdi)\\ \end{align*}$

Invers Matriks
Invers matriks:

$\begin{align*} \text{5. }&M=\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} \\ &M^{-1}=\frac{1}{|M|}\begin{bmatrix} d & -b\\ -c & a \end{bmatrix}\\ \end{align*}$

Aplikasi Matriks

Misal A, B dan X adalah sebuah matriks, maka berlaku:

$\begin{align*} \text{6. } AX&=B \\ X &=A^{-1}B \\ \text{7. } XA&=B \\ X &=BA^{-1} \\ \end{align*}$

Misalkan ada sistem persamaan:
$\begin{cases} ax+by=c\\ px+qy=r\\ \end{cases}$
Maka, jika dibuat bentuk matriksnya:

$\begin{align*} \text{8. } \begin{bmatrix} a & b\\ p & q \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} c \\ r \end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} &=\begin{bmatrix} a & b\\ p & q \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} c \\ r \end{bmatrix} \end{align*}$

Nilai x dan y juga bisa didapat melalui metode determinan:

$\begin{align*} \text{9. } x=\frac{\begin{vmatrix} c & b\\ r & q \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b\\ p & q \end{vmatrix}}\\ \text{10. } y=\frac{\begin{vmatrix} a & c\\ p & r \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b\\ p & q \end{vmatrix}}\\ \end{align*}$

Transformasi Geometri

Terdapat 4 jenis transformasi, yaitu translasi, refleksi, rotasi dan latasi.

Translasi
Titik ditranslasikan oleh matriks M:
$M=\begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}$

$\text{11. }\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x+a\\ y+b \end{bmatrix}$

Atau, jika ditranslasikan oleh matriks N:
$N=\begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix}$

$\text{12. }\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}$

Refleksi
Tabel refleksi titik ( x , y ) terhadap garis tertentu:

Refleksi terhadap...	Hasil Refleksi
Sumbu X	( x , -y )
Sumbu Y	( -x , y )
Titik O	( -x , -y )
y = x	( y , x )
y = -x	( -y , -x )
x = h	( 2h - x , y )
y = h	( x , 2h - y )

Rotasi
Titik dirotasikan sebesar θ derajat berlawanan jarum jam, terhadap titik pusat ( a , b ), maka:

$\text{13. }\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x-a\\ y-b \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}$

Latasi
Titik dilatasikan dengan faktor skala k terhadap titik pusat ( a , b ), maka:

$\text{14. }\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} k&0\\ 0&k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x-a\\ y-b \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}$

Komposisi Transformasi
Suatu titik di transformasikan oleh matriks A, dilanjutkan dengan matriks B. Maka, bayangan titik yang dihasilkan adalah:

$\text{15. }\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = BA\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}$

Contoh Soal

Soal 1: UN 2018
Diketahui matriks $A=\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ dan matriks $B=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$. Matriks (AB)^-1 adalah ...
$\begin{align*} &\text{A. } \frac{1}{3}\begin{bmatrix} -1 &7 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \\ &\text{B. } \frac{1}{3}\begin{bmatrix} -1 &-7 \\ 1 & 7 \end{bmatrix} \\ &\text{C. } \frac{1}{3}\begin{bmatrix} 4 &-7 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \\ &\text{D. } \frac{1}{3}\begin{bmatrix} 2 &3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \\ &\text{E. } \frac{1}{3}\begin{bmatrix} -8 & -1 \\ -5 & 1 \end{bmatrix} \\ \end{align*}$

$\begin{align*} A B &= \begin{bmatrix} 2 & 3\\ 1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2\\ -1 & 1 \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} 2(1)+3(-1) & 2(2)+3(1)\\ 1(1)+2(-1) & 1(2)+2(1) \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} -1 & 7\\ -1 & 4 \end{bmatrix}\\ (AB)^{-1}&=\frac{1}{-4+7}\begin{bmatrix} 4 & -7\\ 1 & -1 \end{bmatrix}\\ &=\frac{1}{3}\begin{bmatrix} 4 & -7\\ 1 & -1 \end{bmatrix} \end{align*}$

Soal 2: UN 2017
Diketahui: matriks $A=\begin{bmatrix} -2c & 4\\ 2 & 5 \end{bmatrix}$; $B=\begin{bmatrix} -4 & -a\\ -b-5 &b \end{bmatrix}$; $C=\begin{bmatrix} -1 & 3\\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ dan $D=\begin{bmatrix} 4 & 1\\ -2 & 3 \end{bmatrix}$. Jika A + B = CD, nilai a + b + c = ...

1. -6
2. -2
3. 0
4. 6
5. 8

$\begin{align*} A+B &=CD \\ \begin{bmatrix} -2c & 4\\ 2 & 5 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -4 & -a\\ -b-5 & b \end{bmatrix}&=\begin{bmatrix} -1 & 3\\ 0 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 & 1\\ -2 & 3 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} -2c-4 & 4-a\\ 2-b-5 & 5+b \end{bmatrix}&= \begin{bmatrix} -1(4)+3(-2) & -1(1)+3(3)\\ 0(4)+2(-2) & 0(1)+2(3) \end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix} -2c-4 & 4-a\\ -b-3 & 5+b \end{bmatrix} &=\begin{bmatrix} -10 & 8\\ -4 & 6 \end{bmatrix}\\ \end{align*}$

Maka, menurut kesamaan matriks, berlaku:

• -2c - 4 = -10
• 4 - a = 8
• -b - 3 = -4
• 5 + b = 6

Maka:
$\begin{align*} -2c-4&=-10 \\ -2c&=-6 \\ c&=3 \\ \\ 4-a&=8 \\ a&=-4 \\ \\ 5+b&=6 \\ b&=1 \\ \\ a+b+c&=(-4)+(1)+(3)\ &=0 \end{align*}$

Soal 3: UNBK 2018
Agen perjalanan "Lombok Menawan" menawarkan paket perjalanan wisata seperti tabel di bawah ini:

	Paket I	Paket II
Sewa Hotel	5	6
Tempat Wisata	4	5
Biaya Total	3.100.000,00	3.000.000,00

Bentuk matriks yang sesuai untuk menentukan biaya hotel tiap malam dan biaya satu tempat satu tempat wisata adalah ...

$\begin{align*} \text{A. }&\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5 & -6\\ -4 & 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3.100.000,00\\ 3.100.000,00 \end{bmatrix} \\ \text{B. }&\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5 & 6\\ 4 & 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3.100.000,00\\ 3.100.000,00 \end{bmatrix} \\ \text{C. }&\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5 & 4\\ 6 & 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3.100.000,00\\ 3.000.000,00 \end{bmatrix} \\ \text{D. }&\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5 & -4\\ -6 & 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3.100.000,00\\ 3.000.000,00 \end{bmatrix} \\ \text{E. }&\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -4 & 5\\ 5 & -6 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3.100.000,00\\ 3.000.000,00 \end{bmatrix} \end{align*}$

Sistem persamaan untuk data diatas:
$\begin{cases} 5x+4y &=3.100.000 \\ 6x+5y &=3.000.000 \end{cases}$

Jika dibuat bentuk matriksnya, maka:
$\begin{bmatrix} 5 & 4\\ 6 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3.100.000\\ 3.000.000 \end{bmatrix}$

Bentuk matriks penyelesaiannya:

$\begin{align*} \begin{bmatrix} 5 & 4\\ 6 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 3.100.000\\ 3.000.000 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}&=\begin{bmatrix} 5 & 4\\ 6 & 5 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 3.100.000\\ 3.000.000 \end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}&= \frac{1}{25-24}\begin{bmatrix} 5 & -4\\ -6 & 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3.100.000\\ 3.000.000 \end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}&=\begin{bmatrix} 5 & -4\\ -6 & 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3.100.000\\ 3.000.000 \end{bmatrix} \end{align*}$

Soal 4: UN 2017
Persamaan peta garis 2x + 3y + 1 = 0 karena dilatasi [ 0 , 3 ] dilanjutkan pencerminan terhadap garis y = x adalah ...

1. 3x + 2y + 3
2. 3x - 2y - 3
3. 2x + 3y - 3
4. 2x - 3y + 3
5. 2x + 2y + 3

Dengan Persamaan 15, maka:

$\begin{align*} \begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 0\\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 & 3\\ 3 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}&=\begin{bmatrix} 3y\\ 3x \end{bmatrix}\\ \end{align*}$

Maka:
$\begin{align*} 2x+3y+1&=0 \\ 2(\frac{y'}{3})+3(\frac{x'}{3})+1&=0 \\ 2y'+x'+3&=0 \end{align*}$

Soal 5: UN 2016
Persamaan bayangan kurva y = 3x² + 2x - 1 oleh pencerminan terhadap sumbu X dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu Y adalah ...

1. y = -3x² - 2x - 1
2. y = -3x² + 2x + 1
3. y = -3x² + 2x - 1
4. y = 3x² + 2x + 1
5. y = 3x² - 2x + 1

Dengan Persamaan 15, maka:

$\begin{align*} \begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} &=\begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -x\\ -y \end{bmatrix} \end{align*}$

Nilai x dan y hanya menjadi minus. Substitusikan ke persamaan awal:
$\begin{align*} y &= 3x^2 + 2x - 1\\ -y &= 3(-x)^2 + 2(-x) - 1\\ -y &=3x^2-2x-1\\ y&=-3x^2+2x+1\\ \end{align*}$

Soal 6: UN 2016
Segitiga ABC dengan koordinat A( 2 , −1 ), B( 6 , −2) dan C( 5 , 2 ) dirotasi sejauh 180° dengan pusat ( 3, 1 ). Bayangan koordinat titik sudut segitiga ABC adalah ...

1. A' ( 4 , 3 ) , B'( 0 , 4 ) , C'( 1 , 0 )
2. A'( 3 , 4 ) , B'( 4 , 0 ) , C'( 0 , 1 )
3. A'( −4 , 3 ) , B'( 0 , −4 ) , C'( −1, 0 )
4. A'( −4, −3 ) , B'( 0 , −4 ) , C'( −1, 0 )
5. A'( −4, −3 ) , B'( 0 , 4 ) , C'( 1 , 1 )

Bayangan titik:

$\begin{align*} \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} &=\begin{bmatrix} \cos\theta&-\sin\theta \\ \sin\theta&\cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x-3 \\ y-1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix} -1&0 \\ 0&-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x-3 \\ y-1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 3-x\\ 1-y \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 6-x\\ 2-y \end{bmatrix}\\ \end{align*}$

Substitusikan titik A, B dan C:
A( 2 , -1 ) → A'( 4 , 3 )
B( 6 , -2 ) → B'( 0 , 4 )
C( 5 , 2 ) → C'( 1 , 0 )