Sukubanyak

Sukubanyak:

1. Bentuk Umum
2. Pembagian Sukubanyak
3. Teorema Vieta

Bentuk Umum

Bentuk umum: a_nxⁿ  +  a_n-1x^n-1  +  ...  +  a₁x + a_o
Dengan; a_n bukan nol, n merupakan bilangan cacah, semua koefisien nya (a_n, a_n-1, ...) adalah bilangan real.

Kesamaan Sukubanyak
f(x) ekuivalen dengan g(x). Misal sukubanyak f(x) = ax³ + bx² + cx + d dan
g(x) = px³ + qx² + rx + s dan keduanya ekuivalen, maka; a = p, b = q, c = r, d = s.

Pembagian Sukubanyak

Sukubanyak f(x) dibagi p(x), menghasilkan h(x) dan sisa s(x).

$\text{1. }f(x)=p(x).h(x)+s(x)$

Pembagi	Sisa
$(x+b)$	$f(-b)$
$(x-b)$	$f(b)$
$(ax+b)$	$f\left ( -\frac{b}{a} \right )$
$(ax-b)$	$f\left ( \frac{b}{a} \right )$
$ax^{2}+bx+c$	$px+q$
$ax^{3}+bx^{2}+cx+d$	$px^{2}+qx+r$

Misal sukubanyak f(x) dibagi dengan pembagi yang memenuhi bentuk ax² + bx + c, maka sisa dari pembagiannya akan memenuhi:

$\text{2. }s(x)=P_{1}.S_{2}+S_{1}$

Teorema Vieta

Misal ax³ + bx² + cx + d, dengan x₁,x₂,x₃ dan x₄ sebagai akar-akarnya, maka berlaku:

$\begin{align*} &\text{3. }x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\frac{b}{a} \\ &\text{4. }x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}=\frac{c}{a} \\ &\text{5. }x_{1}x_{2}x_{3}-\frac{d}{a} \end{align*}$

Misal ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e, dengan x₁,x₂,x₃, x₄ dan x₅ sebagai akar-akarnya, maka berlaku:

$\begin{align*} &\text{6. }x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-\frac{b}{a} \\ &\text{7. }x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4}=\frac{c}{a} \\ &\text{8. }x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4}=-\frac{d}{a}\\ &\text{9. }x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}=\frac{e}{a} \end{align*}$

Contoh Soal

Soal 1: UN 2016
Diketauhi (x - 2) dan (x + 1) adalah faktor-faktor persamaan sukubanyak
x³ + ax² + bx + 10. Jika x₁ , x₂ dan x₃ adalah akar-akar persamaan tersebut dengan
x₁ < x₂ < x₃, nilai 2x₁ - x₂ + x₃ adalah ...

1. -2
2. 1
3. 2
4. 5
5. 9

Persamaan ini merupakan sukubanyak berderajat tiga, sehingga memiliki 3 faktor. 2 faktor sudah diketahui dari soal, yaitu (x - 2) dan (x + 1). Misalkan α sebagai akar ke-tiga. Akar pertama dan keduanya adalah 2 dan -1.

(x - 2)(x + 1)(x - α) = x³ + ax² + bx + 10 = 0

Bisa dilihat ada angka 10, yang merupakan hasil kali dari -2, 1 dan -α. Maka, bisa disimpulkan bahwa α bernilai 5. Diketahui ketiga akarnya, dan juga syarat x₁ < x₂ < x₃. Maka, nilai ketiganya berturut-turut adalah -1, 2 dan 5. Nilai dari 2x₁ - x₂ + x₃ adalah 2(-1) - (2) + 5 = 1.

Soal 2: UN 2016
Diketahui f(x) = 3x³ + ax² - 7x + 4. Jika f(x) dibagi (3x - 1) bersisa 2. Jika f(x) dibagi (x + 2), hasil baginya adalah ...

1. 3x² + 10x - 13
2. 3x² - 10x - 13
3. 3x² + 10x + 13
4. 3x² - 4x - 1
5. 3x² - 4x + 1

Menurut Persamaan 1, bisa ditulis. Lalu, substitusikan x = ⅓:
$\begin{align*} f(x)&=p(x).h(x)+s(x) \\ 3x^{3}+ax^{2}-7x+4&=(3x-1).h(x)+2 \\ 3\left ( \frac{1}{3} \right )^{3}+a\left ( \frac{1}{3} \right )^{3}-\frac{7}{3}+4&=2 \\ \frac{1}{9}+\frac{a}{9}-\frac{7}{3}+4&=2 \\ 1+a-21+36&=18\\ a&= 2 \end{align*}$

Dengan didapatnya nilai a, persamaan utuh f(x) nya adalah f(x) = 3x³ + 2x² - 7x + 4. Pembagian dengan (x + 2):

Soal 3: UN 2016
Suku banyak berderajat 3, jika dibagi (x² + 2x - 3) bersisa (3x - 4), jika dibagi (x² - x - 2) bersisa (2x + 3). Suku banyak tersebut adalah ...

1. x³ - x² - 2x - 1
2. x³ + x² - 2x - 1
3. x³ + x² + 2x - 1
4. x³ + 2x² - x - 1
5. x³ + 2x² + x + 1

(x² + 2x - 3) = (x + 3)(x - 1)
(x² - x - 2) = (x - 2)(x + 1)

Jika dihitung melalui bentuk Persamaan 1, bisa disimpulkan:
f(-3) = 3(-3) - 4 = -13
f(1) = -1

Menurut Persamaan 1 juga, bisa ditulis seperti berikut. Misalkan (ax + b) sebagai hasil pembagian sukubanyak:
$\begin{align*} f(x)&=p(x).h(x)+s(x) \\ f(x)&=(x^{2}-x-2)(ax+b)+(2x+3) \end{align*}$

Maka:
$\begin{align*} f(x)&=(x^{2}-x-2)(ax+b)+(2x+3)\\ f(-3)&=((-3)^{2}-(-3)-2)(a(-3)+b)+(2(-3)+3)\\ -13&=(10)(-3a+b)-3\\ -10&=10(-3a+b)\\ -1&=-3a+b\\ \end{align*}$

Kemudian:
$\begin{align*} f(x)&=(x^{2}-x-2)(ax+b)+(2x+3)\\ f(1)&=(-2)(a+b)+5\\ -1&=-2a-2b+5\\ -6&=-2a-2b\\ 3&=a+b\\ \end{align*}$

Dengan eliminasi atau substitusi, bisa didapt nilai a dan b. Akan disamakan dengan variabel b, misalnya b = 3a - 1 dan b = 3 - a:
$\begin{align*} 3a - 1 &= 3 - a \\ 4a&=4 \\ a&=1 \\ \end{align*}$

Dengan didapatnya nilai a dan b, substitusikan ke persamaan awal untuk mendapatkan sukubanyak yang dicari:
$\begin{align*} f(x)&=(x^{2}-x-2)(ax+b)+(2x+3)\\ f(x)&=(x^{2}-x-2)(x+2)+(2x+3)\\ f(x)&=(x^{3}+2x^{2}-x^{2}-2x-2x-4)+(2x+3)\\ f(x)&=x^{3}+x^{2}-2x-1 \end{align*}$