Logika Matematika

Logika Matematika:

1. Operasi Logika
2. Kuantor
3. Ekuivalensi

Operasi Logika

Konjungsi: dan ( ∧ )
Disjungsi: atau ( ∨ )
Implikasi: jika, maka ( → )
Biimplikasi: jika, dan hanya jika (⟷)

Tabel Kebenaran:

p	q	p ∧ q	p ∨ q	p → q	p ⟷ q
B	B	B	B	B	B
B	S	S	B	S	S
S	B	S	B	B	S
S	S	S	S	B	B

Kuantor

Kedua kuantor ini saling berkebalikan:
Kuantor Universal (∀): semua
Kuantor Eksistensial (E): ada / beberapa

Konvers, Invers dan Kontraposisi

Misal p → q, maka:
Konvers: q → p
Invers: ~p → ~q
Kontraposisi: ~q → ~p

Ekuivalensi

Beberapa ekuivalensi:

• p → q ≡ ~p ∨ q
• ~(p → q) ≡ p ∧ ~q

Contoh Soal

Soal 1: UN 2015
Pernyataan yang setara dengan "Jika semua siswa lulus ujian maka seluruh guru akan senang" adalah ...

1. Semua siswa lulus ujian dan ada guru yang tidak senang.
2. Semua siswa tidak lulus ujian dan seluruh guru akan senang.
3. Ada siswa yang tidak lulus ujian atau seluruh guru akan senang.
4. Ada siswa yang tidak lulus ujian atau ada guru yang akan senang.
5. Ada guru yang akan senang atau semua siswa tidak lulus ujian.

p = semua siswa lulus ujian
q = seluruh guru akan senang

Bentuk pernyataan diatas adalah p → q, yang nilainya sama dengan ~p ∨ q. Maka, pernyataan yang setara dengan "Jika semua siswa lulus ujian maka seluruh guru akan senang" adalah ada siswa yang tidak lulus ujian, atau seluruh guru akan senang.

Soal 2: UN 2015
Diketahui premis-premis berikut:
Premis 1. Adinda tidak rajin belajar atau Adinda lulus ujian.
Premis 2. Adinda tidak lulus ujian.
Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah….

1. Adinda rajin belajar.
2. Adinda tidak rajin belajar dan Adinda tidak lulus ujian.
3. Adinda rajin belajar atau Adinda tidak lulus ujian.
4. Adinda rajin belajar dan Adinda tidak lulus ujian.
5. Adinda tidak rajin belajar.

~p = Adinda tidak rajin belajar
q = Adinda lulus ujian

Bentuk premis 1 diatas adalah ~p ∨ q, yang nilainya sama dengan p → q, dan p → q senilai dengan ~q → ~p: "Jika Adinda tidak lulus ujian, maka Adinda tidak rajin belajar". Maka, kesimpulan yang sah adalah Adinda tidak rajin belajar.

Soal 3: UN 2014
Diketahui premis-premis berikut:
Premis 1 : Ada siswa yang tidak rajin belajar atau hasil ulangan baik.
Premis 2 : Jika hasil ulangan baik, maka beberapa siswa dapat mengikuti seleksi perguruan tinggi.
Premis 3 : Semua tidak dapat mengikuti seleksi perguruan tinggi. Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah….

1. Ada siswa yang hasil ulangan baik.
2. Ada siswa yang hasil ulangan tidak baik.
3. Ada siswa yang rajin belajar.
4. Ada siswa yang tidak rajin belajar.
5. Semua siswa rajin belajar.

~p = Ada siswa yang tidak rajin belajar.
q = Hasil ulangan baik.
r = Beberapa siswa dapat mengikuti seleksi perguruan tinggi.

Bentuk premis 1 adalah ~p ∨ q, yang nilainya sama dengan p → q. Premis 1 setara dengan "Jika semua siswa rajin belajar, maka hasil ulangan baik". Jika melihat premis 1 dan premis 2, yang berturut-turut p → q dan q → r. Maka, kesimpulan yang sah adalah ada siswa yang tidak rajin belajar.