Dinamika Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar

Photo by Jeremias Radny on Unsplash

Dinamika Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar:

1. Momen Gaya & Momen Inersia
2. Penentuan Titik Berat

Besaran yang ada di bab ini:

Besaran	Lambang	Satuan
Panjang (Jarak)	l, R	m
Luas	A	m2
Volume	V	m3
Waktu	t	s
Percepatan	g	m.-2
Kecepatan Sudut	ω	rad.-1
Percepatan Sudut	α	rad.-2
Massa	m	kg
Gaya	F	N
Torsi	τ	N.m
Momen Inersia	I	kg.m2

Momen Gaya & Momen Inersia

Momen gaya, atau torsi merupakan gaya untuk memutar. l adalah jarak tegak lurus antara gaya dengan poros putaran:

$\text{1. }\tau = Fl$

Momen inersia merupakan ukuran kemampuan benda mempertahankan keadaan geraknya:

$\text{2. }I = m r^2$

Kedua variabel diatas juga memenuhi persamaan berikut, dengan α sebagai percepatan sudut:

$\text{3. }\Sigma \tau = I \alpha$

Hukum Kekekalan Energi:

Benda yang menggelinding, akan memiliki gerak translasi dan gerak rotasi. Benda juga akan memiliki energi kinetik translasi dan rotasi, dengan ω sebagai kecepatan sudut. Total energi kinetik benda pada kondisi awal sama dengan kondisi akhir. $\begin{align*} E_{K}&={E_{K}}'\\ E_{K_{\text{Translasi}}}+E_{K_{\text{Rotasi}}}&={E_{K_{\text{Translasi}}}}'+{E_{K_{\text{Rotasi}}}}'\\ (\frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{2}I \omega^{2})&=(\frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{2}I \omega^{2})' \end{align*}$

Hukum Kekekalan Momentum Sudut:

Untuk $\Sigma \tau=0$, maka L konstan: $\begin{align*} L&=L'\\ I\omega &=I' \omega' \end{align*}$

Penentuan Titik Berat

Dimensi 1 (Garis)	Dimensi 2 (Bidang)	Dimensi 3 (Garis)
$\begin{align*} \Sigma x &= \frac{\Sigma x_{n}l_{n}}{\Sigma l_{n}}\\ \Sigma y &= \frac{\Sigma y_{n}l_{n}}{\Sigma l_{n}} \end{align*}$	$\begin{align*} \Sigma x &= \frac{\Sigma x_{n}A_{n}}{\Sigma A_{n}}\\ \Sigma y &= \frac{\Sigma y_{n}A_{n}}{\Sigma A_{n}} \end{align*}$	$\begin{align*} \Sigma x &= \frac{\Sigma x_{n}V_{n}}{\Sigma V_{n}}\\ \Sigma y &= \frac{\Sigma y_{n}V_{n}}{\Sigma V_{n}} \end{align*}$

Contoh Soal

Soal 1: UN 2016
Perhatikan gambar berikut ini!

Letak koordinat titik berat bidang berbentuk huruf H adalah ...

1. (3 ; 4)
2. (3,5 ; 2,5)
3. (3,5 ; 4)
4. (4 ; 3)
5. (4 ; 4)

Bentuk bidang tersebut simetris, sehingga koordinat titik berat tepat di tengah-tengah bidang tersebut: (4 ; 3). Jika dihitung manual:

$\begin{align*} x&=\frac{(12)(1)+(8)(4)+(12)(7)}{12+8+12}\\ &=\frac{128}{32}\\ &=4\\ \end{align*}$

$\begin{align*} y&=\frac{(12)(3)+(8)(3)+(12)(3)}{12+8+12}\\ &=\frac{96}{32}\\ &=3\\ \end{align*}$

Soal 2: UN 2015
Koordinat titik berat bangun luasan seperti gambar di samping terhadap titik O adalah ...

1. 6 : 4,70
2. 6 : 5,65
3. 6 : 6,5
4. 6 : 6,71
5. 6 : 7,5

Bidang ini tidak simetris secara vertikal, maka hanya koordinat y titik pusat yang perlu dicari. Pada penghitungan di bawah ini, bidang diatas akan dibelah menjadi persegi panjang dengan ukuran 12 × 9 dan dua segitiga siku-siku dengan panjang 6 m dan tinggi 3 m:

$\begin{align*} y&=\frac{(108)(7,5)+(9)(2)+(9)(2)}{108+9+9}\\ &=\frac{846}{126}\\ &=6,71 \end{align*}$

Jadi, titik berat bidang tersebut adalah (6 : 6,71).

Soal 3: UN 2016
Batang AB yang panjangnya 1,2 m massanya diabaikan dipengaruhi tiga buah gaya F_A = 10 N, F_B = F_C = 20 N seperti gambar.

Jika jarak AB = 2AC, AC = 2AP, maka besar momen gaya terhadap titik P adalah ...

1. 12 Nm
2. 15 Nm
3. 18 Nm
4. 21 Nm
5. 24 Nm

Uraikan F_C menjadi gaya dalam dimensi X dan Y, berarti jika digambar:


Gaya yang searah jarum jam akan dibuat positif, dan sebaliknya-gaya yang berlawanan jarum jam negatif. Jadi:

$\begin{align*} \Sigma \tau &= F_{A}l_{A} - F_{C}\sin{30^{\circ}}l_{C} + F_{B}l_{B}\\ &=(10)(0,3) - (20)(0,3) + (20)(0,9)\\ &=3-6+18\\ &=15 \text{ }Nm \end{align*}$

Jadi, besar momen gaya yang tepat adalah 15 Nm.

Soal 4: UN 2017
Perhatikan tabel data posisi benda-benda berikut!

Benda	Massa (g)	Koordinat (m)
A	500	(4,0)
B	200	(0,4)
C	250	(0,2)

Benda A, B, dan C dihubungkan dengan batang ringan tak bermassa pada bidang x-y, Besar momen inersia sistem jika diputar pada poros sejajar sumbu y melalui benda A adalah ...
$\begin{align*} \text{A. }&11 \sqrt{2} &\text{ }kg.m^{2}\\ \text{B. }&13 &\text{ }kg.m^{2}\\ \text{C. }&12,5&\text{ }kg.m^{2}\\ \text{D. }&7,2 &\text{ }kg.m^{2}\\ \text{E. }&2,5 &\text{ }kg.m^{2}\\ \end{align*}$

Grafik sistem dengan pusat putaran di A sejajar sumbu y:


$\begin{align*} I_{A}&=(0,5)(0)^{2}+(0,2)(4)^{2}+(0,25)(4)^{2}\\ &=(0)+3,2+4\\ &=7,2\text{ }kg.m^{2} \end{align*}$

Jadi, besar momen inersia yang tepat adalah 7,2 kg.m².

Soal 5: UN 2017
Perhatikan gambar berikut!


Katrol terbuat dari silinder pejal $(I=\frac{1}{2}mR^{2})$. Jika M = 5 kg dan m = 2 kg sedangkan R = 10 cm, maka percepatan putaran katrol adalah ...

1. 10 m.s^-2
2. 8  m.s^-2
3. 6  m.s^-2
4. 5  m.s^-2
5. 4  m.s^-2

$\begin{align*} \Sigma \tau &= I \alpha \\ mgR &= (\frac{1}{2})(M)(R^{2})(\frac{a}{R})\\ mg &= \frac{1}{2}Ma\\ 2(10)&= \frac{1}{2}(5)a\\ a&=8 \text{ }m.s^{-2} \end{align*}$

Jadi, percepatan katrol yang tepat adalah 8 m.s^-2.

Soal 6: UN 2018
Lima gaya bekerja pada bujursangkar dengan sisi 10 cm seperti ditunjukkan pada gambar berikut:


Resultan momen gaya dengan poros di titik perpotongan diagonal bujursangkar adalah ...

1. 0,15 N.m
2. 0,25 N.m
3. 0,75 N.m
4. 1,15 N.m
5. 1,25 N.m

Gaya yang searah jarum jam akan dibuat positif, dan sebaliknya-gaya yang berlawanan jarum jam negatif:

$\begin{align*} \tau &= (10)(5.10^{-2})+(10)(5.10^{-2})+(4)(5.10^{-2})+(5\sqrt{2})(5\sqrt{2}.10^{-2})-(9)(5.10^{-2})\\ &=0,5+0,5+0,2+0,5-0,45\\ &=1,25\text{ }N \end{align*}$

Jadi, resultan momen gaya yang tepat adalah 1,25 N.m.

Soal 7: UN 2018
Sebuah silinder pejal $(I=\frac{1}{2}mR^{2})$ bermassa 8 kg menggelinding tanpa slip pada suatu bidang datar dengan kecepatan 15 m.s^-1. Energi kinetik total silinder adalah ...

1. 1.800 J
2. 1.350 J
3. 900 J
4. 450 J
5. 225 J

Benda yang menggelinding akan memiliki energi kinetik translasi dan rotasi. Maka:
$\begin{align*} E_{K}&=\frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{2}I\omega^{2}\\ &=\frac{1}{2}(mv^{2}+\frac{1}{2}mR^{2}\omega^{2})\\ &=\frac{1}{2}(mv^{2}+\frac{1}{2}mR^{2}\frac{v^{2}}{R^{2}})\\ &=\frac{1}{2}(mv^{2}+\frac{1}{2}mv^{2})\\ &=\frac{1}{2}(\frac{3}{2})(mv^{2})\\ &=\frac{3}{4}mv^{2}\\ &=\frac{3}{4}(8)(225)\\ &=1350\text{ }J \end{align*}$

Jadi, energi kinetik total adalah sebesar 1350 J.

Soal 8: UN 2018
Perhatikan gambar berikut ini! Sebuah batang bermassa 1,5 kg yang salah satu ujungnya dipasang engsel tegak lurus dinding dan sebuah lampion digantungkan pada jarak tertentu dari engsel.


Besar gaya tegangan tali, agar batang benda berada dalam keseimbangan adalah ...

1.  3,0 N
2. 15,0 N
3. 25,0 N
4. 26,7 N
5. 37,5 N

Keadaan seimbang, berarti $\Sigma \tau =0$. Titik poros yang akan digunakan adalah ujung batang yang menempel di dinding:

$\begin{align*} \tau&=w_{Batang}l_{batang}+w_{Lampion}l_{Lampion}-T_{Y}l\\ 0&=(15)(0,4)+(20)(0,6)-T_{Y}(0,8)\\ &=6+12-0,8(T_{Y})\\ &=18-\frac{4}{5}(T_{Y})\\ T_{Y}&=22,5\text{ }N\\ \\ T_{Y}&=T \sin \theta \\ 22,5 &=T \frac{3}{5}\\ T &= 37,5\text{ }N \end{align*}$

Jadi, gaya tegangan tali harus sebesar 37,5 N.

Soal 9: UN 2016
Empat buah partikel terletak pada sistem koordinat kartesius seperti gambar. Momen inersia sistem partikel terhadap pusat koordinat (0,0) adalah ...

1. 3  ma²
2. 6  ma²
3. 7  ma²
4. 10 ma²
5. 12 ma²

$\begin{align*} I&=I_{P}+I_{Q}+I_{R}+I_{S}\\ &=(2m)(a)^{2}+(2m)(a)^{2}+(2m)(a)^{2}+(m)(2a)^{2}\\ &=6ma^{2}+4ma^{2}\\ &=10 ma^{2} \end{align*}$

Jadi, momen inersia sistem adalah 10ma².