Kinematika Gerak

Photo by Markus Spiske on Unsplash

Kinematika Gerak:

1. Gerak Lurus
2. Gerak Parabola
3. Gerak Melingkar

Besaran yang ada di bab ini:

Besaran	Lambang	Satuan
Panjang (Jarak)	s, h, R	m
Sudut	θ	rad
Waktu	t	s
Kecepatan	v	m.s-1
Percepatan	a	m.s-2
Kecepatan Sudut	ω	rad.s-1
Percepatan Sudut	α	rad.s-2

Gerak Lurus

Berikut besaran-besaran yang ada pada gerak lurus:

Perpindahan Jarak terdekat posisi awal dengan posisi akhir benda. s Posisi akhir so Posisi awal	$\text{1. }\Delta s = s - s_{o}$
Kelajuan Rata - Rata v Kecepatan s Jarak t Waktu	$\text{2. }v=\frac{s}{t}$
Kecepatan Sesaat Turunan dari fungsi posisi.	$\text{3. }v=\frac{ds}{dt}$
Kecepatan Rata - Rata v Kecepatan rata-rata Δs Perpindahan Δt Waktu	$\text{4. }\bar{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}$
Percepatan Sesaat Turunan dari fungsi kecepatan.	$\text{5. }a=\frac{dv}{dt}$
Percepatan Rata - Rata a Percepatan rata-rata Δv Perubahan kecepatan Δt Waktu	$\text{6. }\bar{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}$

Benda yang bergerak secara GLB (Gerak Lurus Beraturan) akan memiliki kecepatan konstan, jarak yang ditempuh, dan waktu. Ketiga variabel ini akan memenuhi:

$\text{7. }v=\frac{s}{t}$

Benda yang bergerak secara GLBB (Gerak Lurus Berubah Beraturan) akan memiliki percepatan konstan, perubahan kecepatan secara teratur, jarak yang ditempuh, dan waktu. Keempat variabel ini akan memenuhi:

$\begin{align*} \text{8. }&s=v_{o}t + \frac{1}{2}at^2\\ \text{9. }&v_{t}=v_{o} + at\\ \text{10. }&{v_{t}}^2={v_{o}}^2+2as\\ \end{align*}$

Gerak jatuh bebas: benda bergerak jatuh dari ketinggian h tanpa kecepatan awal, dan dipengaruhi oleh gravitasi g. Maka, berlaku:

$\begin{align*} \text{11. }&v=\sqrt{2gh}\\ \text{12. }&t=\sqrt{\frac{2h}{g}} \end{align*}$

Gerak vertikal: benda bergerak keatas/kebawah dengan kecepatan awal b_o, dan dipengaruhi oleh gravitasi g. Maka, berlaku: Jika benda bergerak ke atas, maka tanda percepatan menjadi minus karena berlawanan dengan arah gravitasi (kecepatan benda semakin lambat). Sebaliknya, jika benda bergerak kebawah, percepatan menjadi plus karena searah dengan arah gravitasi (kecepatan benda semakin cepat).

$\begin{align*} \text{13. }&v_{t}=v_{o} \pm gt\\ \text{14. }&h=v_{o} \pm \frac{1}{2}gt^2\\ \text{15. }&{v_{t}}^2={v_{o}}^2 \pm 2gh\\ \text{16. }&t_{max}=\frac{v_{o}}{g}\\ \text{17. }&h_{max}=\frac{{v_{o}}^2}{2g}\\ \end{align*}$

Gerak Parabola

Pada awal gerak parabola, kecepatan benda dapat divisualisasi dengan vektor, dan diurai menjadi dua:

Kecepatan merupakan besaran vektor, sama seperti gaya. Penguraian vektor kecepatan sama seperti penguraian vektor gaya. Maka, berlaku: $\begin{align*} \text{18. }&v_{ox}=v_{o} \cos {\alpha}\\ \text{19. }&v_{oy}=v_{o} \sin {\alpha}\\ \end{align*}$

Benda akan bergerak secara GLB terhadap sumbu X, dan bergerak secara GLBB terhadap sumbu Y. Maka, kecepatan sesaat benda terhadap sumbu X dan Y dapat dicari dengan: (Untuk Persamaan 21, sesuaikan tanda plus minus dengan arah gerak benda: apakah benda itu bergerak naik, atau bergerak turun)

$\begin{align*} \text{20. }&v_{x}=v_{ox}\\ \text{21. }&v_{y}=v_{oy} \pm gt\\ \end{align*}$

Posisi benda dapat dicari dengan:

$\begin{align*} \text{22. }&x=v_{ox}t\\ \text{23. }&y=v_{oy}t-\frac{1}{2}gt^2\\ \end{align*}$

Ketinggian maksimum yang dapat dicapai benda, bisa dicari dengan:

$\text{24. }h_{max}=\frac{{v_{o}}^2 \sin^2{\alpha}}{2g}$

Jarak horizontal maksimum yang dapat dicapai benda, bisa dicari dengan:

$\text{25. }x_{max}=\frac{{v_{o}}^2 \sin{2\alpha}}{g}$

Untuk mencapai ketinggian maksimum, selang waktu yang diperlukan dapat dicari dengan:

$\text{26. }t=\frac{v_{o} \sin {\alpha}}{g}$

Untuk mencapai jarak horizontal maksimum, selang waktu yang diperlukan dapat dicari dengan:

$\text{27. }t=\frac{2v_{o} \sin {\alpha}}{g}$

Jika ingin dibandingkan jarak atau ketinggian maksimum yang dapat dicapai, dengan kecepatan awal atau sudut yang berbeda, maka:

$\begin{align*} \text{28. }&\frac{{h_{max}}'}{h_{max}}=\frac{\sin^2 {\alpha'}}{\sin^2 {\alpha}}\\ \text{29. }&\frac{{x_{max}}'}{x_{max}}=\frac{\sin {2\alpha'}}{\sin {2\alpha}}\\ \end{align*}$

Melalui Persamaan 24 dan Persamaan 25, maka didapat persamaan berikut:

$\text{30. }\tan{\alpha}=(4)(\frac{h_{max}}{x_{max}})$

Gerak Melingkar

Perbandingan variabel Gerak Lurus dan Gerak Melingkar:

	Gerak Lurus	Gerak Melingkar
Perpindahan	s (m)	θ (rad)
Kecepatan	v (m . s-1)	ω (rad . s-1)
Percepatan	a (m . s-2)	α (rad . s-2)

Jika suatu benda mengalami pergerakan secara Gerak Melingkar Beraturan atau Gerak Melingkar Berubah Beraturan, maka rumus yang digunakan sama seperti GLB dan GLBB, hanya berbeda di variabel yang digunakan (lihat tabel di atas):
GMB: Persamaan 31; GMBB: Persamaan 32, 33, 34

$\begin{align*} \text{31. }&\omega = \frac{\theta}{t}\\ \text{32. }&\omega_{t} = \omega_{o}+\alpha t\\ \text{33. }&{\omega_{t}}^2={\omega_{o}}^2+2 \alpha \theta\\ \text{34. }&\theta = \omega_{o} t + \frac{1}{2}\alpha t^2\\ \end{align*}$

Benda yang bergerak melingkar dengan jari-jari lintasan R, memiliki kecepatan linear v, kecepatan sudut ω, percepatan linear a, dan percepatan sudut α. Variabel-variabel ini memenuhi:

$\begin{align*} \text{35. }&v = \omega R\\ \text{36. }&a = \alpha R\\ \end{align*}$

Perbandingan Percepatan Sentripetal (sudut) dengan Percepatan Tangensial (linear):

Percepatan sentripetal arahnya ke pusat: $\text{37. }a_{S}=\frac{v^2}{R}=\omega^2 R$ Percepatan tangensial arahnya tegak lurus dengan percepatan sentripetal. Percepatan total: $\text{38. }a=\sqrt{a_{t}^2+{a_{s}}^2}$

Hubungan dua roda / gir:

	CASE 1: Roda / gir memiliki pusat yang sama, maka kecepatan sudutnya sama: $\frac{v_{A}}{R_{A}}=\frac{v_{B}}{R_{B}}$
	CASE 2: Roda / gir bersinggungan, maka kecepatan linearnya sama: $\omega_{A} R_{A}=\omega_{B} R_{B}$
	CASE 3: Roda / gir dihubungkan dengan tali, maka kecepatan linearnya sama: $\omega_{A} R_{A}=\omega_{B} R_{B}$

Contoh Soal

Soal 1: UN 2017
Sebuah benda mula-mula di titik A(0,0) kemudian bergerak selama 2 sekon ke titik B(4,2). Selanjutnya bergerak lagi selama 3 sekon ke titik C(8,6). Kecepatan rata-rata gerak benda adalah ... m.s^-1.
$\begin{align*} &\text{A. }1 \\ &\text{B. }1,5\\ &\text{C. }2\\ &\text{D. }2 \sqrt{2}\\ &\text{E. }4,75\\ \end{align*}$

Kecepatan rata-rata benda dapat dihitung dengan Persamaan 3:
$\bar{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}$

Jarak (perpindahan) benda dari titik awal (titik A) ke titik akhir (titik C) bisa dicari dengan cara phytagoras:
$\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$

Dengan demikian, bisa didapat jarak perpindahannya adalah 10 m. Dari soal, sudah diketahui selang waktu pergerakan benda, yaitu 2 + 3 = 5 sekon. Maka:
$\begin{align*} \bar{v}&=\frac{10}{5} \text{ }ms^{-1}\\&=2 \text{ }ms^{-1} \end{align*}$

Soal 2: UN 2018
Sebuah mobil balap A sedang mengejar mobil balap B dengan kelajuan konstan 60 m.s^-1. Mobil balap A tertinggal dari mobil balap B sejauh 600 m di lintasan lurus. Ketika itu mobil balap B melaju dengan kelajuan konstan 30 m.s^-1, maka waktu yang dibutuhkan untuk menyusul mobil balap B adalah ...

1. 36 s
2. 30 s
3. 24 s
4. 20 s
5. 12 s

Mobil balap A tertinggal dari mobil balap B sejauh 600 m; mobil balap B telah bergerak 600 m lebih daripada jarak yang ditempuh mobil balap A. Waktu mobil balap A dan mobil balap B yang dihitung dalam rumus adalah sama, maka dapat ditulis seperti demikian, lalu dijabarkan:
$\begin{align*} s_{B}+600&=s_{A}\\ v_{B}t_{B}+600&=v_{A}t_{A}\\ 30t+600&= 60t\\ 30t&=600\\ t&=20 \textit{ s}\\ \end{align*}$

Soal 3: UN 2016
Bola A dilemparkan vertikal ke atas dengan kecepatan 8 m.s^-1. Setelah 0,8 s kemudian dari titik yang sama bola B dilemparkan juga vertikal ke atas dengan kecepatan 16 m.s^-1. Tinggi yang dicapai bola B saat bertemu dengan bola A adalah ... (percepatan gravitasi 10 m.s^-2)

1. 0,2 m
2. 3,0 m
3. 3,2 m
4. 3,8 m
5. 4,0 m

Saat bola B dilempar keatas, maka bola A akan bergerak jatuh dari titik tertingginya. Maka, bola B bergerak vertikel ke atas sedangkan bola A bergerak vertikal ke bawah. Akan digunakan variabel:
s_B jarak yang ditempuh bola B dari titik awal pelemparan
s_A jarak yang ditempuh bola A dari titik tertinggi
t_B waktu bola B
t_A waktu bola A, dari titik tertinggi hingga jatuh
h ketinggian maksimum bola A

Sebelum masuk ke perhitungan utama, akan dicari terlebih dahulu waktu yang diperlukan bola A untuk mencapai titik tertinggi, serta ketinggian maksimum bola A:
$\begin{align*} t_{A}&=\frac{v_{o}}{g}\\ &=\frac{8}{10} \textit{ s} \end{align*}$

$\begin{align*} h&=\frac{{v_{o}}^2}{2g}\\ &=\frac{8^2}{20}\\ &=3,2\textit{ m} \end{align*}$

Jarak bola A dan bola B akan memenuhi:

$\begin{align*} h&=s_{A}+s_{B}\\ 3,2&=\frac{1}{2}g{t_{A}}^2+(v_{o}t_{B}-\frac{1}{2}g{t_{B}}^2)\\ 3,2&=\frac{1}{2}(10){t_{B}}^2+(16t_{B}-\frac{1}{2}(10){t_{B}}^2)\\ 32&=50t_{B}^2+160t_{B}-50{t_{B}}^2\\ 160t_{B}&=32\\ t_{B}&=0,2\text{ s}\\ \end{align*}$

Dengan didapatnya nilai t_B, maka nilai s_B bisa dicari:
$\begin{align*} s_{B}&=v_{o}t_{B}-\frac{1}{2}g{t_{B}}^2\\ &=(16)(0,2)-(5)(0,04)\\ &=3,2-0,2\\ &=3 \textit{ m}\\ \end{align*}$

Soal 4: UN 2017
Sebuah mobil mula-mula bergerak lurus dengan kecepatan 72 km.jam^-1 selama 20 sekon kemudian dipercepat dengan percepatan 3 m.s^-2 selama 10 sekon dan diperlambat dengan perlambatan 5 m.s^-2 hingga mobil berhenti. Bentuk grafik kecepatan (v) terhadap waktu (t) perjalanan mobil tersebut adalah ...

Variabel kecepatan pada grafik menggunakan satuan m.s^-1. Maka, bentuk kecepatan yang ada pada soal diubah satuannya terlebih dahulu. Mobil tersebut memiliki kecepatan 72 km.jam^-1. Sehingga:
$\begin{align*} \frac{72 \textit{ km}}{\textit{jam}}&=\frac{72000 \textit{ m}}{3600 \textit{ s}}\\ &=20 \text{ }m.s^{-1} \end{align*}$

Kemudian, mobil dipercepat sebesar 3 m.s^-2 selama 10 sekon:
$\begin{align*} v_{t}&=v_{o}+at\\ &=20+(3)(10)\\ &=50\text{ }m.s^{-1} \end{align*}$

Mobil diperlambat sebesar 5 m.s^-2 sampai berhenti, berarti v_t = 0:
$\begin{align*} v_{t}&=v_{o}+at\\ 0&=50-(5)t\\ 5t&=50\\ t&=10\text{ }s \end{align*}$

Dengan demikian, grafik yang cocok dengan nilai variabel yang telah dicari terdapat pada Pilihan B.

Soal 5: UN 2016
Tiga buah roda dihubungkan seperti gambar!
Jika roda A diputar dengan kelajuan linier 4 m.s^-1, maka perbandingan kecepatan sudut antara roda B dengan roda C adalah ...

1. 1 : 3
2. 3 : 2
3. 3 : 4
4. 4 : 1
5. 4 : 3

Roda A dan roda B dihubungkan dengan tali. Maka, kecepatan linier roda A dan roda B sama:
$\begin{align*} \omega_{A}R_{A}&=\omega_{B}R_{B}\\ 4\text{ }m.s^{-1}&=(\omega_{B})(0,6\text{ }m)\\ \omega_{B}&=\frac{40}{6}\text{ }rad.s^{-1}\\ \end{align*}$

Roda A dan roda C memiliki pusat yang sama. Maka, kecepatan sudut roda A dan roda B sama:
$\begin{align*} \frac{v_{A}}{R_{A}}&=\frac{v_{C}}{R_{C}}\\ \frac{4\text{ }m.s^{-1}}{0,2\text{ }m}&=\omega_{C}\\ \omega_{C}&=20\text{ }rad.s^{-1}\\ \end{align*}$

Perbandingan kecepatan sudut roda B dan roda C:
$\begin{align*} \omega_{B}&:\omega_{C}\\ \frac{40}{6}&:20\\ 40&:120\\ 1&:3 \end{align*}$

Soal 6: UN 2017
Sebuah bola dilempar dengan sudut elevasi 30° menempuh lintasan parabola seperti terlihat pada gambar. Percepatan gravitasi 10 m.s^-2, maka perbandingan kecepatan di titik A, B, dan C adalah ...

$\begin{align*} \text{A. }&\sqrt{25}:\sqrt{28}:\sqrt{31}\\ \text{B. }&\sqrt{25}:\sqrt{40}:\sqrt{45}\\ \text{C. }&\sqrt{27}:\sqrt{28}:\sqrt{31}\\ \text{D. }&\sqrt{28}:\sqrt{27}:\sqrt{31}\\ \text{E. }&\sqrt{31}:\sqrt{28}:\sqrt{27} \end{align*}$

Mula-mula, akan dicari terlebih dahulu kecepatan awal benda di sumbu X dan Y:
$\begin{align*} v_{ox}&=v_{o} \cos {\theta}\\ &=(60)\cos{30^{\circ}}\\ &=30\sqrt{3}\text{ }m.s^{-1}\\ \\ v_{oy}&=v_{o} \sin {\theta}\\ &=(60)\sin{30^{\circ}}\\ &=30\text{ }m.s^{-1}\\ \end{align*}$

Kecepatan di titik A:
$\begin{align*} v&=\sqrt{{v_{x}}^2+{v_{y}}^2}\\ &=\sqrt{{v_{ox}}^2+(v_{oy}-gt)^2}\\ &=\sqrt{(30\sqrt{3})^2+(30-10)^2}\\ &=\sqrt{2700+400}\\ &=\sqrt{3100}\\ &=10\sqrt{31}\text{ }m.s^{-1} \end{align*}$

Kecepatan di titik B:
$\begin{align*} v&=\sqrt{{v_{x}}^2+{v_{y}}^2}\\ &=\sqrt{{v_{ox}}^2+(v_{oy}-gt)^2}\\ &=\sqrt{(30\sqrt{3})^2+(30-20)^2}\\ &=\sqrt{2700+100}\\ &=\sqrt{2800}\\ &=10\sqrt{28}\text{ }m.s^{-1} \end{align*}$

Kecepatan di titik C:
$\begin{align*} v&=\sqrt{{v_{x}}^2+{v_{y}}^2}\\ &=\sqrt{{v_{ox}}^2+(v_{oy}-gt)^2}\\ &=\sqrt{(30\sqrt{3})^2+(30-30)^2}\\ &=\sqrt{2700}\\ &=10\sqrt{27}\text{ }m.s^{-1} \end{align*}$

Kecepatan di titik A, B, dan C akan memiliki perbandingan:
$\sqrt{31}:\sqrt{28}:\sqrt{27}$

Soal 7: UN 2017
Sebuah partikel yang bergerak atas memenuhi persamaan y= 8t - t² dengan y dan t masing-masing dalam satuan meter dan sekon. Kecepatan benda saat t = 2 sekon adalah ...

1. 2  m.s^-1
2. 4  m.s^-1
3. 8  m.s^-1
4. 12 m.s^-1
5. 16 m.s^-1

Jika fungsi posisi diturunkan, maka turunannya fungsi posisi adalah fungsi kecepatan. Maka:
$\begin{align*} y&=8t-t^2\\ \frac{dy}{dt}&=8-2t\\ v&=8-2t\\ \end{align*}$

Langsung saja substitusikan t = 2:
$\begin{align*} v&=8-2t\\ &=8-2(2)\\ &=4\text{ }m.s^{-1}\\ \end{align*}$

Jadi, kecepatan benda saat t = 2 sekon adalah 4 m.s^-1.

Soal 8: UN 2018
Dua buah roda A dan B dengan jumlah geriginya berturut-turut 20 dan 50 diletakkan bersinggungan sehingga masing-masing roda gigi berpasangan. Jika roda A berputar 50 kali dalam satu sekon, kecepatan anguler roda B adalah ...

1. 100 π rad.s^-1
2. 100   rad.s^-1
3. 50 π  rad.s^-1
4. 50    rad.s^-1
5. 40 π  rad.s^-1

Roda A berputar 50 kali dalam satu sekon. Maka, harus diubah ke bentuk rad.s^-1:
$\begin{align*} \frac{50 \text{ }putaran}{\text{ }sekon}&=\frac{50 \times 2 \pi \text{ }radian}{\text{ }sekon}\\ &=100 \pi \text{ }rad.s^{-1} \end{align*}$

Roda A dan roda B bersinggungan. Maka, kedua roda tersebut memiliki kecepatan linear yang sama:
$\begin{align*} \omega_{A}R_{A}&=\omega_{B}R_{B}\\ (100 \pi)(20)&=\omega_{B}(50)\\ \omega_{B}&=40 \pi\text{ }rad.s^{-1}\\ \end{align*}$

Dengan demikian, kecepatan anguler roda B adalah 40 π rad.s^-1.