Paket 1

PERHATIAN!

Sebelum mengerjakan soal, periksa apakah ada gambar yang tidak terlihat, atau ada persamaan/pertidaksamaan matematika yang tidak terlihat (karena belum selesai loading). Jika ada, refresh halaman soal ini dan pastikan semua gambar atau rumus matematika terlihat. Hindari me-refresh pada saat sedang mengerjakan, karena jawaban yang sudah terjawab akan hilang.

Pilihan Ganda

Soal 1: Logaritma
Jika x>0 dan y>0, maka $\frac{^{5}\log{625}-\log^{2}(xy)^{2}}{^{2}\log{2}-2\log{(x^{\frac{3}{2}}y)}+2\log{(xy^{\frac{1}{2}})}}$=...

(A) 4 + log xy
(B) 4 log xy
(C) 4 log 10xy
(D) ¼
(E) 4

$\begin{align*} &\frac{^{5}\log{625}-\log^{2}(xy)^{2}}{^{2}\log{2}-2\log{(x^{\frac{3}{2}}y)}+2\log{(xy^{\frac{1}{2}})}}=\frac{4-4\log^2{xy}}{1-\log{(x^{3}y^{2})+\log{(x^2y)}}}\\ &=\frac{4(1-\log^2{xy})}{1-\log {xy}}\\ &=4(1+\log{xy})\\ &=4(\log{10}+\log{xy})\\ &=4 \log{10xy}\\ \end{align*}$

Jadi, jawabannya Pilihan C.

Soal 2: Program Linear
Diketahui sistem pertidaksamaan berikut.

1. 6x + 2y ≥ 18
2. 4x + 4y ≥ 20
3. x ≥ 0
4. y ≥ 0

Nilai minimum fungsi objektif f(x , y) = 3x + 5y pada sistem pertidaksamaan tersebut adalah ...

(A) 45
(B) 25
(C) 21
(D) 18
(E) 15

Grafik:


Daerah yang ditandai warna hijau adalah daerah penyelesaiannya. Ketiga titik yang terdapat dalam daerah penyelesaian tersebut adalah (0,9), (2,3) dan (5,0). Substitusikan ketiga titik ini ke fungsi objektif:
$\begin{align*} f(x,y)&=3x+5y\\ f(0,9)&=3(0)+5(9)=45\\ f(2,3)&=3(2)+5(3)=21\\ f(5,0)&=3(5)+5(0)=15\\ \end{align*}$

Jadi, jawabannya Pilihan E.

Soal 3: Persamaan Kuadrat
Akar-akar persamaan kuadrat x² - (k - 4)x + 16 = 0 dinyatakan dengan α dan β. Jika α = 4β, nilai k yang memenuhi adalah ...

(A) -14 dan -6
(B) 14 dan -6
(C) -14 dan 6
(D) 2 dan 8
(E) -2 dan -8

Dengan rumus x₁ + x₂ dan rumus x₁x₂, langsung saja:
$\begin{align*} \alpha + \beta &= -\frac{-(k-4)}{1}\\ 5 \beta &= k-4\\ \\ \alpha \beta &= \frac{16}{1}\\ 4 \beta^2 &= 16\\ \beta &= \pm 2\\ \end{align*}$

Substitusikan kedua nilai beta ke persamaan yang pertama kali didapat, untuk menemukan kedua nilai k:
$\begin{align*} 5 (2) &= k-4\\ 10 &=k-4\\ k&=14\\ \\ 5(-2)&=k-4\\ -10&=k-4\\ k&=-6 \end{align*}$

Jadi, jawabannya Pilihan B.

Soal 4: Fungsi Komposisi
Diketahui f(x) = x² - 8x + 16 dan g(x) = 2x - 8. Fungsi komposisi (f ⚬ g)(x) = ...

(A) x² - 48x + 144
(B) x² - 48x - 144
(C) 4x² + 48x + 144
(D) 4x² - 48x + 144
(E) 4x² - 48x - 144

$\begin{align*} (f \circ g)(x)&=f(g(x))\\ &=(g(x))^2 - 8(g(x))+16\\ &=(2x-8)^2-8(2x-8)+16\\ &=(4x^4-32x+64)-16x+64+16\\ &=4x^4-48x+144\\ \end{align*}$

Jadi, jawabannya Pilihan D.

Soal 5: Persamaan Linear
Jika (x_o, y_o, z_o) memenuhi sistem persamaan
$\begin{cases} & 3x-2y-3z=5\\ & x+y-2z=3\\ & x-y+z=-4\\ \end{cases}$

Nilai z_o adalah ...

(A) -3
(B) -2
(C) -1
(D) 4
(E) 5

Eliminasi (2) dan (3):
$\begin{align*} x+y-2z&=3\\ x-y+z&=-4\\ \\ 2y - 3z &= 7 \end{align*}$

Eliminasi (1) dan (2):
$\begin{align*} 3x-2y-3z&=5\\ 3(x+y-2z)&=3(3)\\ \\ 3x-2y-3z&=5\\ 3x+3y-6z&=9\\ \\ -5y+3z&=-4\\ \end{align*}$

Eliminasi kedua persamaan yang didapat:
$\begin{align*} 2y-3z&=7\\ -5y+3z&=-4\\ \\ -3y&=3\\ y&=-1\\ \end{align*}$

Dengan didapatnya nilai y, substitusikan nilai y ke salah satu persamaan hasil eliminasi:
$\begin{align*} 2y-3z&=7\\ 2(-1)-3z&=7\\ -2-3z&=7\\ -3z&=9\\ z&=-3 \end{align*}$

Jadi, jawabannya Pilihan A.

Soal 6: Sukubanyak
Diketahui (x - 2) adalah faktor sukubanyak f(x) = x³ + ax² + bx - 12. Jika f(x) dibagi (x-3), maka sisa pembagiannya adalah 30. Nilai a + 2b = ...

(A) 8
(B) 4
(C) 3
(D) -4
(E) -5

Jika (x - 2) faktor sukubanyak f(x), berarti f(2) = 0:
$\begin{align*} f(2)&=0\\ 0&=2^{3}+a(2)^{2} + b(2) - 12\\ 0&=8+4a+2b-12\\ 4&=4a+2b\\ 2&=2a+b\\ \end{align*}$

Substitusi x = 3 ke sukubanyak f(x):
$\begin{align*} f(3)&=30\\ 30&=3^{3}+a(3)^{2} + b(3) - 12\\ 30&=27+9a+3b-12\\ 30&=15+9a+3b\\ 15&=9a+3b\\ 5&=3a+b \end{align*}$

Eliminasi kedua persamaan yang didapat, lalu akan didapat kedua nilai a dan b:
$\begin{align*} 2&=2a+b\\ 5&=3a+b\\ \\ a&=3\\ b&=-4\\ \end{align*}$

Nilai a + 2b yang diminta, berarti:
$\begin{align*} a+2b&=(3)+2(-4)\\ &=3-8\\ &=-5 \end{align*}$

Jadi, jawabannya Pilihan E.

Soal 7: Barisan dan Deret
Diketahui deret bilangan 2 + 3 + 4 + ... + 99. Dari deret bilangan itu, jumlah bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah ...

(A) 950
(B) 1400
(C) 2000
(D) 2250
(E) 2450

Jumlah bilangan dari 2 sampai 99 yang habis dibagi 2, berarti mulai dari 2 sampai 98: (Pakai rumus U_n dulu untuk menemukan banyak suku)
$\begin{align*} 98&=2+(n-1)(2)\\ 98&=2+2n-2\\ n&=49\\ \end{align*}$

Berarti ada 49 suku, dan rumus S_n bisa dipakai sekarang:
$\begin{align*} S_{49}&=\frac{49}{2}(2+98)\\ &=49 \times 50\\ &=2450\\ \end{align*}$

Berarti, jumlah semua bilangan yang bisa dibagi 2, dari 2 sampai 98 adalah 2450, tetapi ini masih termasuk bilangan yang bisa dibagi 5. Untuk itu, harus dicari dulu jumlah semua bilangan yang habis dibagi 2 dan 5, berarti mulai dari 10 sampai 90: (Langkah pengerjaan sama seperti sebelumnya)
$\begin{align*} 90&=10+(n-1)(10)\\ 90&=10+10n-10\\ n&=9\\ \end{align*}$

Berarti ada 9 suku, dan rumus S_n bisa dipakai sekarang:
$\begin{align*} S_{9}&=\frac{9}{2}(10+90)\\ &=450\\ \end{align*}$

Berarti, jumlah semua bilangan yang habis dibagi 2 dan 5 adalah 450. Yang diminta soal adalah jumlah bilangan yang hanya dihabis 2, jadi jumlah bilangan yang hanya habis dibagi 2 adalah 2450 - 450 = 2000.

Jadi, jawabannya Pilihan C.

Soal 8: Fungsi Komposisi
Diketahui f : R → R, g : R → R, g(x) = 2x - 3 dan (f ⚬ g)(x) = 12x² - 44x + 44. Rumus f(x) = ...

(A) 3x² - 4x + 5
(B) 3x² - 4x - 5
(C) 3x² - 4x - 49
(D) 3x² - 44x - 49
(E) 3x² - 4x + 49

$\begin{align*} (f \circ g)(x)&=12x^{2}-44x+44\\ f(2x-3)&=12x^{2}-44x+44\\ \end{align*}$

Invers dari 2x - 3 adalah $\frac{x+3}{2}$:
$\begin{align*} f(x)&=12 \left ( \frac{x+3}{2} \right )^{2} - 44 \left ( \frac{x+3}{2} \right ) + 44\\ &=12 \left ( \frac{x^{2}+6x+9}{4} \right ) - 22 (x+3) + 44\\ &=3(x^{2}+6x+9)-22x-66+44\\ &=3x^{2}+18x+27-22x-22\\ &=3x^{2}-4x+5\\ \end{align*}$

Jadi, jawabannya Pilihan A.

Soal 9: Program Linear
Untuk menambah penghasilan, seorang ibu setiap harinya memproduksi dua jenis kue untuk dijual. Setiap jenis kue I modalnya Rp200,00 dengan keuntungan 40%, sedangkan setiap jenis kue II modalnya Rp300,00 dengan keuntungan 30%. Jika modal yang tersedia setiap harinya Rp100.000,00 dan paling banyak hanya dapat memproduksi 400 kue, maka keuntungan terbesar yang dapat dicapai ibu tersebut dari modalnya adalah ...

(A) 30%
(B) 32%
(C) 34%
(D) 36%
(E) 40%

Sistem persamaan:
$\begin{cases} &200x+300y \leq 100000\\ &x+y \leq 400 \end{cases}$

Grafik:


Daerah yang ditandai warna hijau adalah daerah penyelesaiannya. Ketiga titik yang terdapat dalam daerah penyelesaian tersebut adalah (0,$\frac{1000}{3}$) (200,200) dan (400,0). Substitusikan ketiga titik ini ke fungsi objektif:
$\begin{align*} f(x,y)&=200 \left( \frac{4}{10} \right )x + 300 \left( \frac{3}{10} \right )y\\ &=80x+90y\\ f(0,\frac{1000}{3})&=80(0)+90(\frac{1000}{3})=30000\\ f(200,200)&=80(200)+90(200)=34000\\ f(400,0)&=80(400)=32000 \end{align*}$

Nilai maksimumnya 34000, jadi keuntungan maksimumnya adalah sebesar 34% (Pilihan E).

Soal 10: Matriks
Diketahui matriks A yang memenuhi:
$A=\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -8 & -2\\ 3 & 7 \end{bmatrix}$

dan matriks B yang memenuhi:
$\begin{bmatrix} 2 & 3\\ 1 & 1 \end{bmatrix} B =\begin{bmatrix} 4 & 0\\ 5 & 2 \end{bmatrix}$

Jika matriks A, B dan C memenuhi:
$AB=\begin{bmatrix} 25 & 5\\ 24 & 8 \end{bmatrix}C$

dan matriks C adalah matriks 2 x 2, nilai determinan matriks C adalah ...

(A) 8
(B) -10
(C) -36
(D) -64
(E) -100

Ketiga persamaan matriks di atas, langsung saja dibuat ke bentuk diskriminan. Salah satu sifat determinan matriks adalah jika A, B, C adalah matriks yang memenuhi AB = C, maka berlaku pula |A||B| = |C|. Jadi:
$\begin{align*} |A|&=\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} -8 & -2 \\ 3 & 7 \end{vmatrix}\\ |A|&=(4-6)(-56+6)\\ |A|&=-2(-50)\\ |A|&=100\\ \\ \\ \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}|B|&= \begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 5 & 2 \end{vmatrix}\\ (2-3)|B|&=8\\ -|B|&=8\\ |B|&=-8\\ \\ \\ |A||B|&= \begin{vmatrix} 25 & 5 \\ 24 & 8 \end{vmatrix}|C|\\ |A||B|&=(200-120)|C|\\ 100(-8)&=80|C|\\ -800&=80|C|\\ |C|&=-10 \end{align*}$

Jadi, jawabannya Pilihan B.

Soal 11: Turunan
Diketahui $f(x)=\frac{(x-3)^{2}}{(3x+9)}$. Jika f'(x) menyatakan turunan pertama f(x), maka 3.f(0) + 3.f'(0) = ...

(A) -9
(B) -3
(C) 0
(D) 3
(E) 9

Mula-mula, nilai dari f(0):
$\begin{align*} f(x)&=\frac{(x-3)^{2}}{(3x+9)}\\ f(0)&=\frac{(-3)^{2}}{9}\\ f(0)&=1 \end{align*}$

Turunan f(x), lalu substitusikan x = 0.
$\begin{align*} f'(x)&=\frac{(2x-6)(3x+9)-(x-3)^{2}(3)}{(3x+9)^{2}}\\ f'(0)&=\frac{(-6)(9)-(-3)^{2}(3)}{(9)^{2}}\\ f'(0)&=\frac{-54-27}{81}\\ f'(0)&=-1\\ \end{align*}$

Yang diminta adalah 3.f(0) + 3.f'(0), berarti:
$\begin{align*} 3 f(0) + 3 f'(0) &= 3(1) + 3(-1)\\ &=0 \end{align*}$

Jadi, jawabannya Pilihan C.

Soal 12: Integral
$\text{Hasil }\int (x+9)\sqrt{x+3} \textit{ dx}=...$

(A) $\frac{(6x+78)}{15}(x+3)^{\frac{3}{2}}+C$
(B) $\frac{(78-6x)}{15}(x+3)^{\frac{3}{2}}+C$
(C) $\frac{(6x-78)}{15}(x+3)^{\frac{5}{2}}+C$
(D) $\frac{(78-6x)}{15}(x+3)^{\frac{5}{2}}+C$
(E) $\frac{2}{3}(x+9)(x+3)^{\frac{3}{2}}+\frac{4}{15}(x+3)^{\frac{5}{2}}+C$

Menggunakan teknik tanzalin:

Turunan	Integral
$x+9$	$(x+3)^{\frac{1}{2}}$
$1$	$\frac{2}{3}(x+3)^{\frac{3}{2}}$
$0$	$\frac{4}{15}(x+3)^{\frac{5}{2}}$

Persamaan yang didapat:
$\begin{align*} &\int (x+9)\sqrt{x+3} \textit{ dx}=(x+9) \left ( \frac{2}{3}(x+3)^{\frac{3}{2}} \right ) - (1)\left ( \frac{4}{15}(x+3)^{\frac{5}{2}} \right )+C\\ &=\left ( \frac{2}{3}(x+9)(x+3)^{\frac{3}{2}} \right ) - \left ( \frac{4}{15}(x+3)^{\frac{5}{2}} \right )+C\\ &=\left [ \left ( \frac{2}{3}(x+9) \right ) - \left ( \frac{4}{15}(x+3) \right ) \right ] (x+3)^{\frac{3}{2}}+C\\ &=\left [ \frac{10(x+9)-4(x+3)}{15} \right ] (x+3)^{\frac{3}{2}}+C\\ &=\left [ \frac{10x+90-4x-12}{15} \right ] (x+3)^{\frac{3}{2}}+C\\ &=\frac{(6x+78)}{15} (x+3)^{\frac{3}{2}}+C\\ \end{align*}$

Jadi, jawabannya Pilihan A.

Soal 13: Integral
Luas daerah yang diarsir pada grafik:

adalah ...

(A) 21 satuan luas
(B) 13.5 satuan luas
(C) 9 satuan luas
(D) 4.5 satuan luas
(E) 2.25 satuan luas

Persamaan garis gambar: y = 4 - x

Persamaan kurva gambar: y = (x - 2)²


Menurut gambar, daerah yang diarsir dimulai dari x = 0 sampai dengan x = 3. Berarti:
$\begin{align*} &\int_{0}^{3}{((4-x)-(x^2-4x+4))}\textit{ dx}=\int_{0}^{3}{(-x^2+3x)}\textit{ dx}\\ &=\left ( -\frac{1}{3}x^{3} + \frac{3}{2}x^{2} \right ]_{0}^{3}\\ &=\left ( -\frac{1}{3}(27) + \frac{3}{2}(9) \right )\\ &=-\frac{18}{2}+\frac{27}{2}\\ &=\frac{9}{2}\\ &= 4.5 \text{ satuan luas} \end{align*}$

Jadi, jawabannya Pilihan D.

Soal 14: Integral
Volume daerah yang diarsir antara kurva y = √x dengan garis y = x, diputar terhadap sumbu Y adalah ...

(A) $\frac{8}{15} \pi$
(B) $\frac{5}{6} \pi$
(C) $\frac{1}{6} \pi$
(D) $\frac{3}{5} \pi$
(E) $\frac{2}{15} \pi$

Pertama-tama, akan dicari dulu batas-batas daerah yang diarsir (nilai y nya):
$\begin{align*} y_{1}&=y_{2}\\ \sqrt{x}&=x\\ x&=0\\ x&=1\\ \end{align*}$

Berarti, batas-batasnya dari 0 sampai 1. Bentuk persamaan yang akan diintegralkan, tetapi dalam bentuk x:
$\begin{align*} y&=\sqrt{x_{1}}\\ y^2&=x_{1}\\ x_{1}&=y^2\\ \\ y&=x_{2}\\ x_{2}&=y \end{align*}$

Integralnya:
$\begin{align*} &\pi \int_{0}^{1}({x_{2}}^2-{x_{1}}^2) \textit{ dy}=\pi \int_{0}^{1}{y}^2-{(y^2)}^2) \textit{ dy}\\ &=\pi \int_{0}^{1} (y^{2}-y^{4}) \textit{ dy}\\ &=\pi \left ( \frac{1}{3}y^{3} - \frac{1}{5}y^{5} \right ]_{0}^{1}\\ &=\pi \left ( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right )\\ &=\frac{2}{15}\pi \text{ satuan volume} \end{align*}$

Jadi, jawabannya Pilihan E.

Soal 15: Turunan
Koordinat titik balik maksimum grafik fungsi y = x³ - 6x² + 9x + 18 adalah ...

(A) (1, 18)
(B) (1, 22)
(C) (0, 16)
(D) (3, 18)
(E) (0, 18)

Fungsi y akan maksimum/minimum di y' = 0:
$\begin{align*} y' &= 3x^{2} - 12x + 9\\ 0 &=x^{2}-4x+3\\ 0 &=(x-3)(x-1)\\ \end{align*}$

Fungsi y memiliki titik maks/min relatif di x = 3, atau x = 1. Akan diuji untuk menemukan mana titik maksimumnya:
$\begin{align*} y&=x^{3}-6x^{2}+9x+18\\ \\ y&=(3)^{3}-6(3)^{2}+9(3) +18\\ &=27-6(9)+27+18\\ &=18\\ \\ y&=(1)^{3}-6(1)^{2}+9(1) +18\\ &=1-6+9+18\\ &=22\\ \end{align*}$

Jadi, titik minimumnya adalah (3, 18) dan titik yang diminta, adalah titik maksimum, yaitu (1, 22).

Jadi, jawabannya Pilihan B.

Soal 16: Limit Fungsi
$\lim_{x\rightarrow 9}\frac{ax+b-2\sqrt{x}}{x-9}=\frac{2}{3} \text{, maka nilai }3a+b=...$

(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2

Turunkan:
$\begin{align*}\lim_{x\rightarrow 9}\frac{ax+b-2\sqrt{x}}{x-9}&=\lim_{x\rightarrow 9}\frac{a-\frac{1}{\sqrt{x}}}{1}\\ \frac{2}{3}&=a-\frac{1}{\sqrt{9}}\\ a&=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\\ a&=1\\ \end{align*}$

Ini adalah bentuk limit $\frac{0}{0}$. Jadi:
$\begin{align*} ax+b-2 \sqrt{x} &= 0\\ 9a+b-2 \sqrt{9}&=0\\ 9a+b-6&=0\\ 9+b-6&=0\\ b&=-3 \end{align*}$

Yang diminta adalah nilai dari 3a + b, berarti:
$\begin{align*} 3a+b&=3(1)-3\\ &=0\\ \end{align*}$

Jadi, jawabannya Pilihan C.

Soal 17: Turunan
Diketahui fungsi $g(x)=\frac{1}{3}x^{3}-A^{2}x+7$, A konstanta. Jika $f(x)=g(2x+1)$ dan f turun pada $-2\leq x\leq 1$, nilai minimum relatif g adalah ...

(A) 3
(B) 12
(C) 25
(D) -15
(E) -11

Tentukan dulu fungsi f(x), kemudian turunkan f(x) lalu substitusikan x dengan -2 atau 1:
$\begin{align*} f(x)&=g(2x+1)\\ &=\frac{1}{3}(2x+1)^{3}-A^{2}(2x+1)+7\\ f'(x)&=(2)(2x+1)^{2}-2A^{2}\\ 0&=(2x+1)^{2}-A^{2}\\ A^{2}&=(2x+1)^{2}\\ &=9\\ \end{align*}$

Nilai A telah didapat, berarti persamaan g(x) yang lengkap diketahui. Turunkan g(x) untuk mencari koordinat x titik maksimum, atau minimum:
$\begin{align*} g(x)&=\frac{1}{3}x^{3}-9x+7\\ g'(x)&=x^{2}-9\\ x&=\pm 3\\ \end{align*}$

Substitusikan kedua nilai x ke g(x) untuk menentukan yang mana titik maksimum, atau minimum:
$\begin{align*} g(-3)&=\frac{1}{3}(-3)^{3}-9(-3)+7\\ &=-9+27+7\\ &=25\\ \\ g(3)&=\frac{1}{3}(3)^{3}-9(3)+7\\ &=9-27+7\\ &=-11 \end{align*}$

Jadi, jawabannya Pilihan E.

Soal 18: Transformasi Geometri
Segitiga XYZ dengan koordinat titik X( 2 , 1 ), Y( 6 , 4 ) dan Z( 5 , -1 ). Segitiga tersebut dirotasi sejauh 90° dengan pusat ( -2 , -2 ). Koordinat bayangan segitiga XYZ adalah ...

(A) X'( -5 , 2 ), Y'( -8 , 6 ) dan Z'( -3 , 5 )
(B) X'( -5 , 2 ), Y'( -8 , 6 ) dan Z'( 3 , -5 )
(C) X'( -5 , 2 ), Y'( 8 , -6 ) dan Z'( 3 , 5 )
(D) X'( 5 , 2 ), Y'( -8 , 6 ) dan Z'( 3 , 5 )
(E) X'( -5 , -2 ), Y'( -8 , -6 ) dan Z'( -3 , -5 )

$\begin{align*} \begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}&= \begin{bmatrix} \cos{90^{\circ}} & -\sin{90^{\circ}}\\ \sin{90^{\circ}} & \cos{90^{\circ}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x+2\\ y+2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -2\\ -2 \end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix} -(y+2)-2\\ x+2-2 \end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix} -y-4\\ x \end{bmatrix} \\ \end{align*}$

Substitusikan titik X, Y dan Z:
$\begin{align*} X:&\begin{bmatrix} -(1)-4\\ (2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5\\ 2 \end{bmatrix} \\ Y:&\begin{bmatrix} -(4)-4\\ (6) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -8\\ 6 \end{bmatrix} \\ Z:&\begin{bmatrix} -(-1)-4\\ (5) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3\\ 5 \end{bmatrix} \\ \end{align*}$

Jadi, jawabannya Pilihan A.

Soal 19: Ruang Dimensi Tiga
Pada ruang berbentuk balok yang berukuran 8 m × 8 m × 6 m, akan dipasang tali yang ujung pertamanya ditempel di tengah-tengah salah satu dinding. Ujung tali kedua ditempel di pojok atas dinding yang berhadapan dengan dinding yang ditempeli ujung tali pertama. Jika t menyatakan panjang tali, nilai t² + 1 adalah ...

(A) $\sqrt{89}$
(B) 90
(C) $3\sqrt{10}$
(D) 89
(E) 80

Visualisasi:


Panjang AC:
$\begin{align*} AC&=\sqrt{8^{2}+4^{2}}\\ &=\sqrt{80}\\ \end{align*}$

Panjang BC = 3

Panjang AB, atau t:
$\begin{align*} t&=\sqrt{(\sqrt{80})^{2}+3^{2}}\\ &=\sqrt{89}\\ \end{align*}$

Nilai t² + 1:
$\begin{align*} t^{2}+1&=(\sqrt{89})^2+1\\ &=90 \end{align*}$

Jadi, jawabannya Pilihan B.

Soal 20: Trigonometri
Di sebuah museum terdapat miniatur piramida berbentuk limas segiempat beraturan. Dari data museum diketahui panjang rusuk tegak piramida 8 m dan membentuk sudut 30° di puncaknya. Luas seluruh sisi tegak piramida tersebut adalah ...

(A) 640 dm²
(B) 320 dm²
(C) 1600 dm²
(D) 6400 dm²
(E) 3200 dm²

Luas salah satu bidang segitiga:
$\begin{align*} L&=\frac{1}{2}(8)(8)\sin{30^{\circ}}\\ &=16\text{ }m^2\\ \end{align*}$

Luas seluruh (empat) bidang segitiga:
$\begin{align*} 4L&=64\text{ }m^2\\ &=6400\text{ }dm^2 \end{align*}$

Jadi, jawabannya Pilihan A.

Soal 21: Vektor
$\begin{align*} &\text{Diketahui vektor-vektor }\vec{a}=3\vec{i}-2\vec{j}+3\vec{k}\text{ , }\vec{b}=4\vec{i}+2\vec{j}-6\vec{k}, \\ &\text{dan }\vec{c}=3\vec{i}+\alpha \vec{k}\text{. Jika }(\vec{a}+\vec{b})\text{ tegak lurus terhadap vektor }\vec{c}\text{,}\\ &\text{maka nilai }\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\text{ adalah }... \\ \end{align*}$

(A) $7\vec{i}-3\vec{k}$
(B) $10\vec{i}+4\vec{j}$
(C) $10\vec{i}-4\vec{k}$
(D) $10\vec{i}+4\vec{k}$
(E) $10\vec{i}-4\vec{j}-3\vec{k}$

$\vec{a}+\vec{b}=7\vec{i}-3\vec{k}$

Jika vektor a + b tegak lurus dengan c, maka hasil perkalian skalarnya sama dengan nol:
$\begin{align*} (\vec{a}+\vec{b})\vec{c}&=0\\ (7)(3)+(-3)(\alpha)&=0\\ 21-3\alpha&=0\\ \alpha&=7 \end{align*}$

Nilai α sudah didapat, berarti vektor c sudah diketahui. Berarti, jumlah ketiga vektor:
$\begin{align*} \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}&=(3+4+3)\vec{i}-(2-2)\vec{j}+(3-6+7)\vec{k}\\ &=10\vec{i}+4\vec{k}\\ \end{align*}$

Jadi, jawabannya Pilihan D.

Soal 22: Lingkaran
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x² + y² - 4x + 8y - 15 = 0 yang tegak lurus dengan garis 8y - 4x + 17 = 0 adalah ...

(A) y + 2x + 5 = 0
(B) y + 2x - 11 = 0
(C) y + 2x - 1 = 0
(D) y - 2x + 5 = 0
(E) y - 2x + 11 = 0

Mula-mula akan dicari jari-jari lingkaran:
$\begin{align*} r&=\sqrt{ \left ( \frac{4^2}{4} \right ) + \left ( \frac{8^2}{4} \right ) - 15 }\\ &=\sqrt{ \left ( \frac{4^2}{4} \right ) + \left ( \frac{8^2}{4} \right ) - 15 }\\ &=\sqrt{4+16-15}\\ &=\sqrt{5}\\ \end{align*}$

Gradien garis singgung:
$\begin{align*} m_{1}.m_{2}&=-1\\ \frac{1}{2}(m_{2})&=-1\\ m_{2}&=-2 \end{align*}$

Persamaan garis singgung:
$\begin{align*} y-b&=m(x-a)\pm r \sqrt{m^{2}+1}\\ y+4&=(-2)(x-2) \pm \sqrt{5}\sqrt{((-2)^{2}+1)}\\ y+4&=-2x+4 \pm 5\\ y+2x \pm 5&=0\\ \end{align*}$

Salah satu garis singgung yang ada pada pilihan adalah y + 2x + 5 = 0.

Jadi, jawabannya Pilihan A.

Soal 23: Trigonometri

Fungsi grafik diatas adalah ...

(A) y = 4 sin (4x - π)
(B) y = 4 sin (2x - π)
(C) y = 4 cos (2x + π)
(D) y = 2 cos (4x + π)
(E) y = 2 sin (4x + π)

Salah satu titik puncak fungsinya (y = 4), yaitu di x = $\frac{3}{4} \pi$. Akan diuji titik tersebut untuk semua fungsi:

Fungsi	Sudut	Nilai
4 sin (4x - π)	$\frac{3}{4} \pi$	0
4 sin (2x - π)	$\frac{3}{4} \pi$	4
4 cos (2x + π)	$\frac{3}{4} \pi$	0
2 cos (4x + π)	$\frac{3}{4} \pi$	2
2 sin (4x + π)	$\frac{3}{4} \pi$	0

Fungsi yang sesuai dengan grafiknya adalah fungsi kedua, atau fungsi pada Pilihan B, yaitu y = 4 sin (2x - π).

Soal 24: Ruang Dimensi Tiga
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 3 m. Jika sudut antara garis FH dan BG adalah α, nilai dari sin (6α) adalah ...

(A) 6
(B) 1
(C) ½√3
(D) 0
(E) 3√3

Visualisasi:


Proyeksi garis BG terhadap bidang ADHE adalah AH. Selanjutnya, lihat garis AH, garis AF dan garis FH. Ketiga garis ini membentuk segitiga sama sisi. Maka, sudut yang terbentuk adalah sudut 60°. Maka, nilai dari sin (6α) adalah:
$\sin{6 \alpha}=\sin {360^{\circ}}=0$

Jadi, jawabannya Pilihan D.

Soal 25: Peluang
Pada suatu toko buku, terdapat 3 buku matematika, 5 buku fisika, 2 buku kimia, dan 4 buku biologi. Jika akan dibeli 1 buku untuk setiap pelajaran, banyak cara buku dapat dibeli adalah ...

(A) 90
(B) 60
(C) 120
(D) 14
(E) 30

$3 \times 5 \times 2 \times 4 = 120$

Jadi, jawabannya Pilihan C.

Soal 26: Statistika
Dalam suatu percobaan, didapat data tinggi tumbuhan berikut:

Tinggi (cm)	Banyak Tumbuhan
30-37	3
38-45	5
46-53	4
54-61	8
62-69	3
70-77	12
78-85	5

Kuartil bawah dari data tersebut adalah ...

(A) 45,5
(B) 46,5
(C) 47,5
(D) 48,5
(E) 49,5

Kuartil bawah (Q₁), berarti kelas yang ditempati oleh frekuensi ke seperempat dari jumlah frekuensi, yaitu frekuensi ke-10. Berarti, kuartil bawah berada di kelas 46-53 dengan frekuensi 4.
$\begin{align*} Q_{1}&=45,5+\frac{10-8}{4}(8)\\ &=45,5+4\\ &=49,5 \end{align*}$

Jadi, jawabannya Pilihan E.

Soal 27: Peluang
Dalam suatu kotak, terdapat 2 kelereng merah, 3 kelereng putih dan 4 kelereng biru. Jika diambil dua kelereng di saat bersamaan, maka peluang kelereng yang diambil warnanya merah dan putih adalah ...

(A) $\frac{1}{3}$
(B) $\frac{5}{6}$
(C) $\frac{5}{36}$
(D) $\frac{1}{6}$
(E) $\frac{1}{2}$

Peluang terambil warna merah dan putih:
$\begin{align*} P&=\frac{C_{1}^{2} \times C_{1}^{3}}{C_{2}^{9}}\\ &=\frac{6}{36}\\ &=\frac{1}{6} \end{align*}$

Jadi, jawabannya Pilihan D.

Soal 28: Peluang
Akan dibuat passcode rahasia yang terdiri atas 5 huruf yang berbeda, diikuti 3 angka yang berbeda. Jika huruf yang digunakan adalah huruf-huruf penyusun 'TOTEL', maka ada ... passcode yang bisa dibuat.

(A) 720
(B) 43200
(C) 5400
(D) 21600
(E) 2700

Banyak passcode yang bisa dibuat adalah hasil perkalian dari permutasi sejenis (kata TOTEL) dan permutasi biasa:
$\begin{align*} \frac{5!}{2!} \times \frac{10!}{7!} &= 60 \times 720\\ &=43200 \end{align*}$

Jadi, jawabannya Pilihan B.

Soal 29: Statistika
Tabel berikut menyajikan nilai Try Out kelas 12:

Nilai	Frekuensi
65-69	2
70-74	6
75-79	4
80-84	5
85-89	2
90-94	8
95-99	3

Jika dibuat pengelompokan nilai, dan agar nilai bisa dikategorikan baik, nilai harus lebih tinggi dari 81.5, berapakah orang yang nilainya dikelompokkan baik?

(A) 16
(B) 24
(C) 14
(D) 15
(E) 18

Akan digunakan variabel x yang mewakili jumlah murid yang nilainya tidak dikategorikan baik. Untuk penyelesaian soal ini, akan digunakan bentuk rumus persentil/kuartil/desil. 81.5 terletak di kelas 80-84, jadi tepi bawah yang digunakan adalah 79.5, frekuensi kumulatif nya 12:
$\begin{align*} 81,5&=79,5+\frac{x-12}{5}(5)\\ 2&=x-12\\ x&=14 \end{align*}$

Berarti, jumlah murid yang lulus 30 - 14 = 16.

Jadi, jawabannya Pilihan A.

Soal 30: Statistika
Diketahui sekelompok data x₁, x₂, x₃, ... , x_n memiliki simpangan rata-rata R, jika semua data dikali 2 lalu dikurang 1, nilai simpangan rata-rata data barunya adalah ...

(A) ½R
(B) R+1
(C) R
(D) 2R
(E) 2R-1

Rata-rata data mula-mula:
$\begin{align*} \bar{x}=\frac{\sum x_{i}}{n} \end{align*}$

Simpangan rata-rata mula-mula:
$\begin{align*} R&=\frac{\sum {|x_{i}-\bar{x}|}}{n}\\ &=\frac{\sum {|x_{i}-\bar{x}|}}{n}\\ \end{align*}$

Rata-rata data baru:
$\begin{align*} \bar{x}_{t}&=\frac{\sum (2x_{i}-1)}{n}\\ &=2\bar{x}-1\\ \end{align*}$

Ragam data baru:
$\begin{align*} R_{t}&=\frac{\sum {|(2x_{i}-1)-\bar{x_{t}}|}}{n}\\ &=\frac{\sum {|(2x_{i}-1)-(2\bar{x}-1)|}}{n}\\ &=\frac{\sum {|(2x_{i}-1-2\bar{x}+1)|}}{n}\\ &=\frac{\sum {|(2x_{i}-2\bar{x})|}}{n}\\ &=\frac{2\sum {|(x_{i}-\bar{x})|}}{n}\\ &=2R \end{align*}$

Jadi, jawabannya Pilihan D.

Uraian

Soal 31: Fungsi Komposisi
Diketahui f : R → R, g : R → R, g(x) = 3x - 2 dan (f ⚬ g)(x) = 9x² - 24x + 16. Nilai f(2) - 2 = ...

$\begin{align*} (f \circ g)(x)&=9x^{2}-24x+16\\ f(g(x))&=9x^{2}-24x+16\\ f(3x-2)&=9x^{2}-24x+16\\ f(x)&=9 \left ( \frac{x+2}{3} \right )^{2} - 24 \left ( \frac{x+2}{3} \right ) + 16\\ &=(x+2)^{2}-8(x+2)+16\\ &=x^2-4x+4\\ f(2)&=0\\ \end{align*}$

Nilai dari f(2) - 2, berarti:
$\begin{align*} (f \circ g)(x)&=9x^{2}-24x+16\\ f(2)-2&=0-2\\ &=-2 \end{align*}$

Soal 32: Limit
Jika $\lim_{x\rightarrow \infty }(\sqrt{9x^{2}-6x+9}-\sqrt{9x^{2}-ax+18})=4\\ $, nilai a yang memenuhi adalah ...

Melalui rumus bentuk limit seperti pada soal:
$\begin{align*} \frac{-6-(-a)}{2 \sqrt{9}}&=4\\ \frac{a-6}{6}&=4\\ a-6&=24\\ a&=30 \end{align*}$

Soal 33: Trigonometri
Nilai x yang memenuhi saat fungsi f(x)=2cos(4x)-1 memotong sumbu x pada interval 180° ≤ x ≤ 225° adalah ...°

Memotong sumbu x, berarti f(x)=0:
$\begin{align*} f(x)&=2cos(4x)-1\\ 1&=2cos(4x)\\ cos(4x)&=\frac{1}{2}\\ 4x&={60^{\circ},300^{\circ}}\\ \end{align*}$

Untuk mencari nilai x yang tepat, dan karena sudah diketahui nilai 4x yang membuat cos bernilai setengah, ditambah saja putarannya; berarti ditambah 360^o, atau kelipatannya. Misalnya, sudut 60^o ditambah dua kali putaran jadi 780^o. Berarti, nilai x nya:
$\begin{align*} 4x&=780^{\circ}\\ x&=195^{\circ}\\ \end{align*}$

Nilai x yang didapat sudah memenuhi syarat interval yang diminta, sehingga jawabannya adalah 195^o. Jika mengerjakan soal tipe ini, periksa interval terlebih dahulu.

Soal 34: Vektor
Diketahui $\vec{p}=\begin{bmatrix} 2\\ 3\\ 6 \end{bmatrix}$ dan $\vec{q}=\begin{bmatrix} 1\\ -x\\ 2 \end{bmatrix}$, dan proyeksi skalar vektor $\vec{q}$ pada $\vec{p}$ adalah $\frac{5}{7}$. Nilai x = ...

Dengan rumus proyeksi vektor:
$\begin{align*} \frac{5}{7}&= \left | \frac{(2-3x+12)}{\sqrt{2^{2}+3^{2}+6^{2}}} \right |\\ \frac{5}{7}&= \left | \frac{(14-3x)}{\sqrt{49}} \right |\\ 5&=14-3x\\ x&=3 \end{align*}$

Soal 35: Peluang
Pada suatu rak buku, disusun 2 buku matematika yang judulnya sama, 5 buku fisika, 3 buku kimia dan 3 buku biologi. Jika buku pelajaran sama harus disusun berdekatan, banyak cara buku-buku pelajaran tersebut dapat disusun adalah ...

Cara untuk menyusun 2 buku matematika yang berjudul sama hanyalah 1. 5! mewakili cara menyusun buku fisika, 3! mewakili buku kimia dan biologi, dan 4! mewakili cara menyusun urutan pelajaran (matematika, fisika, kimia dan biologi):
$\begin{align*} (1 \times 5! \times 3! \times 3!)4!&=120 \times 36 \times 24\\ &=103680 \end{align*}$